Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

К законам подлости эти мои рассуждения имеют вот какое отношение. Метод пристального всматривания в расчете на интуицию работает только тогда, когда к волшебной палочке прилагается аналитический аппарат, который позволит строго проверить результат «озарения». В известной книге «Физики шутят» приводился анекдот о том, как строятся рассуждения представителей различных специальностей.

— Взгляни на этого математика, — сказал логик. — Он замечает, что первые девяносто девять чисел меньше сотни, и отсюда с помощью того, что он называет индукцией, заключает, что любые числа меньше сотни.

— Физик верит, — сказал математик, — что 60 делится на все числа. Он замечает, что 60 делится на 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Он проверяет несколько других чисел, например 10, 20 и 30, взятых, как он говорит, наугад. Поскольку 60 делится на них, он считает экспериментальные данные достаточными.

— Да, но взгляни на инженера, — возразил физик. — Он подозревает, что все нечетные числа простые. Во всяком случае, 1 можно рассматривать как простое число, доказывает он. Затем идут 3, 5 и 7, все, несомненно, простые. Затем идет 9 — досадный случай; по-видимому, 9 не является простым числом. Но 11 и 13, конечно, простые. Возвратимся к 9, — говорит он, — я заключаю, что 9 должно быть ошибкой эксперимента[35].

Это забавно, конечно, но вот вам такой числовой ряд:

1, 2, 4, 8, 16, …

Продолжите его. «Это же, очевидно, степени двойки! — воскликнете вы. — Следующим числом будет 32, а за ним 64 и т. д.». Но что, если я скажу вам, что следующим должно быть 31? И это не степени двойки, а значения вот такого выражения:

При n = 0, 1, 2, 3, … здесь под знаком суммы стоит биномиальный коэффициент. Первые тринадцать членов этого ряда выглядят так:

1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256, 386, 562, 794, …

Приведенное мною выражение дает число областей, на которые разбивается круг, если расположить на его окружности n различных точек и соединить их каждую с каждой[36]. И эта простая и абсолютно понятная задача имеет столь коварную «подсказку»! Ведь на проверку даже первых пяти чисел уже должно уйти достаточно много времени, чтобы заключить, что число областей выражается степенью двойки. Ну а если упорство возобладает, то подсчет областей при n = 6 неизбежно вызовет недоумение и поиск ошибки в подсчете, ведь 31 так близко к 32 (попробуйте сами нарисовать и сосчитать эти области). Забавно то, что десятый член ряда опять равен степени двойки. Понять, откуда эти степени взялись и почему ряд начинается столь многообещающе, поможет хорошо известный арифметический треугольник, или треугольник Паскаля. Его элементы — биномиальные коэффициенты, а сумма всех чисел каждого ряда в точности равна степени двойки (это обстоятельство используется для нормировки функции вероятности биномиального распределения). Поскольку число областей, на которые разбивается круг, выражается суммой пяти первых биномиальных коэффициентов (на рис. 8.4 они выделены черным цветом), первые пять таких сумм содержат в себе полные ряды в треугольнике, однако начиная с шестого ряда суммирование идет не по всем коэффициентам. Отсюда и взялось «коварное» число 31. В десятом же ряду первые пять коэффициентов составляют ровно половину ряда, общая сумма которого равна степени двойки (2⁹), и, значит, половина тоже будет степенью двойки. Если где-то еще они и встретятся, то это уже будет случайным совпадением.

Рис. 8.4. Треугольник Паскаля

Ричард Ги из Университета Калгари в 1988 году опубликовал статью, озаглавленную «Сильный закон малых чисел»[37], в которой приводит и этот пример (с полным доказательством), и теорему, достойную иных законов подлости:

Просто посмотреть недостаточно.

В ней есть еще более трех десятков примеров последовательностей и «фактов», которые выглядят многообещающими, но никак не могут быть законами.