Волшебный двурог

— Дело в том, — продолжал Радикс, — что если тебе, допустим, придет в голову точно определить, как можно вывести общие формулы, определяющие значения неизвестных в зависимости от коэффициентов в уравнениях, то придется заняться тем же самым, чем мы сейчас с тобой забавлялись, а именно — подсчитать число инверсий. Если не струсишь, то советую проверить это. Давай напишем систему уравнений:

a₁x + b₁y + c₁z = d₁

a₂x + b₂y + c₂z = d₂

a

₃x + b₃y + c₃z = d₃

и найдем, чему равняется у.

— Это что-то трудновато, — неопределенно заметил Илюша.

— Для простоты положим, что х и z уже известны и нам надо определить через них у. Ну-ка попробуй, что получится.

— 110 —

Илюша взял карандаш, задумался на минутку и написал следующее выражение для у:

y = (d₁ — a₁x — c₁

z) / b₁

— Очень мило! Ну, а еще чего-нибудь ты не придумаешь?

— Можно подставить это значение у в остальные два уравнения, тогда останутся неизвестными только х и z.

— Можно. А далее?

— А далее поступаю подобным же образом. Определю из одного из уравнений z и подставлю его в последнее оставшееся уравнение. Получу, очевидно, значение для х. А его можно подставить в предыдущую формулу для z и так далее.

Все определится очень просто. Только бы не запутаться во всех этих подстановках.

— Так, — закончил Радикс, — верно. Придется тебе еще подумать, кстати, о том, чтобы у этих твоих дробей, которые определяют неизвестные, знаменатели не обращались в нуль.

Но если оставить это пока в стороне, то формулы ты получишь верные. О них-то я и хотел тебе сказать несколько слов.

Займись-ка, выпиши, что получается окончательно в знаменателе дробей. Если ты нигде не напутал, то получится алгебраическая сумма произведений:

a₁b₂c₃; a₁b

₃c₂; a₂b₁c₃; a₂b₃c₁; a₃b₁c₂; a₃b₂

c₁;

А что касается знаков перед ними, то они как раз тем и определяются, какое число инверсий, четное или нечетное, образуют числа «один», «два» и «три» в подписных значках у букв a, b и с, если мы будем писать эти три буквы каждый раз в их алфавитном порядке, как это у нас и сделано. Если при четном числе инверсий брать знак плюс, а при нечетном — минус, то получится алгебраическая сумма, которая называется определителем, или детерминантом, данной системы уравнений. Ты можешь еще заметить, что и числители дробей построены так же, только там вместо одной из букв а, b или с (в зависимости от того, какое ты неизвестное определяешь) поставлена буква d (для икса d заменяет букву а, для игрека — букву b, для зета — букву с). Если мы захотим определить знак перед каждым произведением, то для этого достаточно того, что мы вывели, когда разбирали маленького Дразнилку. А дальше дело пойдет, разумеется, похитрее. Мы еще вспомним нашего друга Дразнилку, когда будем разбирать одну довольно сложную задачу в Схолии Девятнадцатой.

— 111 —

— Теперь уже я буду относиться к Дразнилке посерьезнее. Вот какая он, оказывается, знатная персона!

— Кстати, — задумчиво произнес Радикс. — Ты, кажется, уверял меня по поводу младшего Дразнилки, что из трех элементов можно образовать всего шесть комбинаций?

— Разумеется, — уверенно ответил Илюша.

— Как это мило!.. — еще более задумчиво произнес его приятель. — И ты уверен, что больше шести не может быть?

— Конечно, уверен!

— Так, значит, шесть! И все разные. Это очень важно. Ровно шесть, говоришь ты?.. Это приводит мне на память один престранный случай. В архиве одного нотариуса города Толедо, в Испании, была обнаружена следующая запись, относящаяся к началу восемнадцатого столетия:

«После кончины достопочтенного дона Диего дель Кастильо в его доме было найдено завещание, согласно которому три драгоценных ларчика — бронзовый, серебряный и золотой — были оставлены трем его друзьям юности: дону Альваро, дону Бенито и дону Висенте, причем условие завещания гласило:

«Означенные предметы переходят во владение моих друзей по их выбору, который должен происходить в следующем порядке:

1) тот, кто видел меня в зеленом плаще, не может выбирать раньше дона Альваро;

2) если дон Висенте не был в Саламанке в тысяча шестьсот девяносто четвертом году, то, значит, тот, кто будет выбирать первым, никогда не давал мне своей табакерки;

3) дон Альваро и дон Бенито могут выбирать во вторую очередь только в том случае, если дон Бенито будет выбирать раньше того, кто первый стал носить шпагу…»