Время переменных. Математический анализ в безумном мире

Роскошно, да, но перед нами не просто смазливая мордашка. Сумма Римана воплощает в себе сущность интеграла. Она носит имя Бернхарда Римана, застенчивого жителя Германии, одаренного богатым воображением. Он прожил всего 39 лет, но оставил свой след (и свои граффити-теги) во всех областях математики: Риманова поверхность, геометрия Римана, гипотеза Римана. В «Википедии» даже имеется страница под названием «Список объектов, названных в честь Бернхарда Римана». Там перечислены 70 пунктов, среди которых есть даже астероид и лунный кратер. «С каждым простым актом мышления, – писал Риман, – в нашу душу входит что-то постоянное и существенное».

Сумма Римана предлагает окончательное решение важной проблемы: что же представляет собой интеграл?

Один простой ответ на этот вопрос – «площадь, находящаяся под кривой». Достаточно справедливо. Но ты видишь где-то поблизости кривые, парень? Функции – это густонаселенные джунгли. Все треугольники, круги и трапеции, которые вы изучали в школе, были домашними мышками и кошками по сравнению со свирепыми зверями, которых вы найдете в непроходимых дебрях математики, с монстрами, которых никакая формула не может заключить в клетку.

Сумма Римана – это нечто вроде универсальной формулы, дротика с транквилизатором, который может успокоить любую функцию. Хотя действует она очень коварно, сама по себе идея чрезвычайно проста: добавляйте все больше, больше и больше прямоугольников.

Мы можем начать с четырех. Они стоят бок о бок, создавая линию горизонта из высотных зданий, их этажи направлены вниз к оси х, а крыши создают саму функцию. Если мы нарисуем график так, чтобы они находились внутри, то результат можно назвать «нижней суммой» – заниженной оценкой площади фигуры.

Теперь мы повторяем это упражнение, но на этот раз «потолки» прямоугольников не подпирают график функции, а лежат на нем, протыкая границы фигуры. Теперь мы немного переоцениваем реальную площадь, находя «верхнюю сумму».

Это хорошая практика для любого действия по оценке, начиная с бюджета проекта и заканчивая угадыванием количества мармеладного драже в банке. До того как дать один ответ, вначале переоцените количество и недооцените его, сузив разброс возможностей между этими двумя пределами.

В любом случае в четырех прямоугольниках ничего особенного нет. Мы можем взять их 20 штук.

И тут «ловушка Римана» начинает удерживать зверя. Видите, как сокращается разрыв? Видите, как растет нижний потолок и падает верхний? Две суммы приближаются к единственной истине, и чем больше прямоугольников мы используем, тем ближе они сойдутся. Что насчет сотни прямоугольников, тысячи или миллиона? Что насчет миллиарда прямоугольников, квадриллиона или гугола? Что насчет бесконечного числа прямоугольников?

Теперь «ловушка Римана» захлопнулась. Мы отправляемся в воображаемое путешествие за грань возможного, где две оценки встретятся посередине, придя к одному значению – настоящая площадь, интеграл во всей красе.

Эта история объясняет смысл интеграла. Мы покрываем какую-то область бесчисленными крошечными прямоугольниками, каждый из которых имеет высоту y и ширину dx, то есть площадь y × dx. Последний штрих – это размашистый S-образный символ Лейбница, сжатая эмблема непрерывности и полноты, которая обозначает «сумму этого бесконечного множества вещей». (Забавный факт: в английском языке «интегральное исчисление» (integral calculus) – это анаграмма выражения «галантные завитки» (gallant curlicues).)

Хорошо, вот это и есть концепция интеграла Римана. «Но что насчет семиотики?» – спросите вы.

Хотя, возможно, вы не спросите. Возможно, никто никогда не спросит. Тем не менее разве сумма Римана не напоминает линию горизонта небоскребов Нью-Йорка? «Квадраты света следуют один за другим, уходят ввысь и теряются в ней», – писал о вечернем Нью-Йорке поэт Эзра Паунд. «Город взлетающей в высоту геометрии, – говорил эссеист Роланд Барт, – окаменевшая пустыня ячеек и решеток». Как и контур зданий на фоне неба, сумма Римана – это ансамбль, построенный из вертикальных линий.

Специалист по городскому дизайну Кристоф Линднер заметил, что «сопряженная геометрия этих форм… практически эксклюзивно выстраивает и определяет город с помощью вертикалей». (Тем временем писатель Генри Джеймс называл город «головокружительным» – словом, с которым вы могли бы смириться, если бы были Генри Джеймсом.) То же самое можно сказать и о сумме Римана: когда количество прямоугольников увеличивается, их ширина уменьшается, и мы имеем дело с объектом, направленным исключительно по вертикали.