Все о морских узлах

Нельзя не упомянуть о фундаментальной связи между узлами и косами, открытой американцем Джоном Александером, спустя полвека после неудачного старта Кельвина. Алгебраическая теория кос, разработанная в своё время совсем еще юным немецким математиком Эмилем Артином (Emil Artin), более алгебраична, чем геометрическая теория узлов. Эта связь (геометрическая суть которой проста: «замыкание косы») позволила получить основной результат Александера: все узлы отталкиваются от кос. И поскольку классификация кос была быстро получена Артином, была сделана, конечно же, попытка вывести из неё классификацию узлов. Усилия в этом направлении не привели к цели, но породили ряд красивых результатов.

Существует также очень простая геометрическая конструкция, принадлежащая немецкому математику Курту Рейдемейстеру (Kurt Reidemeister). Эта идея позволяет свести изучение узлов в пространстве к изучению их проекций (так называемых диаграмм узлов) на плоскости. В итоге она привела учёного к теории катастроф, кодированию узлов и обработке узлов с помощью компьютера.

Известен также алгоритм, изобретённый соотечественником Рейдемейстера Вольфгангом Хакеном (Wolfgang Haken), который позволяет определить, можно или нельзя развязать данный узел. Но этот алгоритм очень сложный. Дело в том, что иногда, чтобы распутать узел, нужно сначала его ещё больше запутать. Вот пример тривиального узла, который не упрощается (его можно развязать, только увеличив сначала число перекрёстков):

Тривиальный неупрощаемый узел

Нужно сказать, что в дальнейшем придумывание плохо распутываемых тривиальных узлов стало важной частью исследований алгоритмов распутывания. На рисунке показан особенно яркий пример узла такого типа (очень трудного для распутывания, и потому не случайно названного Гордиевым).

«Гордиев узел» Вольфганга Хакена

Применяется в науке также и термин «арифметика узлов». Основная теорема арифметики узлов (существование и единственность разложения узла на простые множители) была доказана в 1949 г. немцем Хорстом Шубертом (Horst Schubert). Подозрительное сходство между множеством узлов, наделённым операцией композиции (которая состоит, просто-напросто, в завязывании узлов последовательно один за другим), и множеством натуральных чисел с операцией умножения – породила различные надежды. Например, не являются ли узлы не чем иным, как геометрическим кодированием чисел, не сведётся ли классификация узлов к банальному пересчёту. К счастью, эти сомнения математиков были вскоре развеяны.

Весьма интересно и полезно изобретение, на первый взгляд тривиальное, англо-американца Джона Конвея (John Conway), одного из наиболее оригинальных математиков прошлого века. Речь идёт о новых небольших геометрических операциях над диаграммами узлов. В отличие от операций Рейдемейстера, они позволяют изменять не только вид диаграммы узла, но также и тип узла, а иногда преобразовывают его в зацепление. С их помощью можно определять и вычислять полином Александера-Конвея узла (или зацепления). Эти операции дают очень удобный и достаточно эффективный метод доказательства того, что два узла имеют разный тип и, в частности, что некоторые узлы не могут быть развязаны.

И все-таки, на мой взгляд, больше всего читателей может заинтересовать не этот метод, а биологическое отступление, в котором объясняется, что операции Конвея описывают действие топоизомераз (недавно открытых особых ферментов) на молекулярном уровне. Мне как человеку, активно увлекающемуся ДНК-генеалогией (по сути «молекулярной историей»), буквально недавно написавшему книгу «Древнейшая история Пензенского края: мифы и реальность», где история рассматривается с точки зрения именно новейших исследований ДНК-генеалогии, было особенно интересно самому вникнуть в эту тему и познакомить с ней моих читателей.