Всё, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной от космических орбит до квантовых полей

Кривизна выражает, насколько желают удалиться, или сблизиться, или обвиться друг вокруг друга соседние геодезические (не траектории в пространстве, а геодезические в пространстве-времени, как, возможно, стоит подчеркнуть). «Соседние» здесь понимается в строго определенном математическом смысле, да и «желают» тоже – как относительное ускорение (подробности того, как оно определяется, приведены в добавлениях к этой прогулке). Поскольку каждое малое тело, развертка движения которого есть геодезическая, находится в состоянии свободного падения, можно сказать, что кривизна – это нарушения «одинаковости» свободного падения для соседей по геодезическим. Муравей испытывает нарастающий дискомфорт в точности потому, что движение его головы и тела описывается различными геодезическими. Поэтому кривизну нельзя «испытать» или измерить, имея лишь одно пробное тело: требуется как минимум два, движение которых отвечает двум «соседним» геодезическим. А поскольку в пространстве-времени четыре независимых направления, изучить относительные ускорения геодезических необходимо вдоль каждого из направлений; но и геодезические можно «прокладывать» в любых направлениях, поэтому требуется немало по-разному ориентированных муравьев. Из наблюдений за тем, как они разрываются, сдавливаются или скручиваются, получается набор из нескольких чисел в каждой точке пространства-времени.

Рис. 6.26. Расхождение/схождение геодезических на сфере

В двумерии, как всегда, все намного проще, и дежурный пример поведения геодезических на сфере показан на рис. 6.26. Там в качестве одной геодезической выбран экватор (если считать, что полюса расположены сверху и снизу), а на некотором расстоянии ξ от него выбрана точка, и через нее проведена другая геодезическая, «максимально параллельная» экватору. На рисунке показан ее участок. Она, как и экватор, представляет собой окружность большого круга и по этой причине не может оставаться на неизменном расстоянии от экватора; на рисунке две геодезические сходятся (в общем случае я говорю о расхождении геодезических; сходятся или расходятся – это вопрос знака). Сейчас, конечно, мы говорим о геодезических в традиционном «геодезическом» понимании, что, как всегда, несколько портит аналогию с пространством-временем. Тем не менее если бы на сфере жили двумерные существа и если бы имелся закон природы, что они могут передвигаться только по геодезическим, то они заключили бы, что когда Существо А и Существо Б ползут каждое своим путем, некая сила тянет их друг к другу: они неизбежно сближаются, а после встречи, наоборот, неизбежно начинают расходиться. В нашей Вселенной свободное падение тел в пространстве описывается геодезическими в пространстве-времени, а мы, глядя на происходящее изнутри пространства, ощущаем расхождение/схождение геодезических как неустранимые эффекты гравитации.

И еще: происходящее на сфере для нас наглядно, потому что мы смотрим со стороны, а в отношении пространства-времени такой возможности нет, поэтому расхождение геодезических требуется описывать в тех же внутренних терминах, в которых мы и строим искривленную геометрию. По счастью, ничего изобретать не нужно, имеющегося основного инструмента – параллельного переноса – достаточно для придания кривизне точного смысла. Подробности того, как это делается и что получается, описаны в добавлениях к этой прогулке. Чисел, выражающих все способы взаимного поведения соседних геодезических, заметно больше одного. Они организованы в таблицу формата 4 × 4 × 4 × 4, в которой вообще-то 256 ячеек. Правда, 112 из них никогда не заполнены (технически это выражается в том, что в них всегда проставлены нули, не несущие никакой информации). Половина оставшихся – это повторение чисел из некоторых других ячеек, но с противоположным знаком; таким образом выражается взаимность типа «если А удаляется от Б, то Б удаляется от А». Но и из оставшихся 72 ячеек далеко не все содержат независимые данные – числа в них тоже повторяются или выражаются друг через друга; в этом проявляются более глубокие свойства взаимности, следующие из правил параллельного переноса. Так или иначе все числа, раскиданные по таблице 4 × 4 × 4 × 4, выражают те свойства геометрии, которые служат объяснением приливных сил – т. е. сил, которые различным образом растягивают, сжимают и скручивают подвернувшиеся куски материи. И кривизна не устранима никакими трюками типа применения принципа относительности. Она не выключается переходом к какому-либо специальному виду движения, ведь расхождение между двумя геодезическими остается расхождением независимо от того, какую из них вы выбрали в качестве «своей собственной». Мы еще вернемся к этому «монстру» 4 × 4 × 4 × 4, а заодно увидим, что он не так и страшен, а пользы от него необычайно много. А пока обсудим наконец класс черных дыр, у которых кривизна устроена поинтереснее, чем мы видели до сих пор.

*****