Всё, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной от космических орбит до квантовых полей

В длинах волн, отвечающих спектральным линиям, скрыты целые числа. В очередной раз стоя на плечах гигантов, мы теперь знаем, что эти числа представляют собой просто номера из списка разрешенных энергий, но в момент их открытия – за 40 лет до появления уравнения Шрёдингера, до открытия закона излучения Планка и даже до открытия электрона (!) – они представлялись совершенно загадочными. В 1885 г. их усмотрел в спектре атома водорода швейцарский преподаватель математики Бальмер. Перед его глазами было всего четыре лежащие в видимой части спектра линии с длинами волн 656,279 нм, 486,135 нм, 434,0472 нм и 410,1734 нм (рис. 10.7 слева). Сделав прямо сейчас паузу в прогулке, вооружившись калькулятором и отводя глаза от следующего абзаца, вы можете попробовать самостоятельно найти, какие целые числа скрываются внутри этой последовательности и как поэтому ее следует продолжить. Задача не решается мгновенно, даже когда вопрос поставлен напрямую о целых числах. У Бальмера же не просто не было калькулятора; вообще ничто не предвещало появления здесь целых чисел, так что открытие их в наборе произвольных с виду длин волн кажется мне каким-то особым видом наблюдательности и выдающимся примером эмпирически найденной, но при этом точной закономерности. Эти линии называются с тех пор серией Бальмера. Разгадав тайну длин волн, Бальмер продолжил последовательность и предсказал следующую линию с длиной волны 397 нм; как он вскоре узнал, ее, именно такую, уже наблюдал Ангстрём. Это было блестящим подтверждением догадки Бальмера!

Догадка же состояла вот в чем. Первую длину волны в его серии умножим на 1/2² – 1/3² (что можно, конечно, вычислить, приведя к общему знаменателю, но именно этого делать не следует, потому что сейчас важно не численное значение, а структура выражения; и я выделил число 3); вторую длину волны в серии умножим на 1/2² – 1/4²; третью на 1/2² – 1/5² и четвертую на 1/2² – 1/6². Результат всех этих операций получается одним и тем же. Только это и было известно Бальмеру: в длинах волн прятались числа 3, 4, 5, 6. Предсказанная им следующая линия отвечала числу 7.

Объяснение серии Бальмера, и не только ее, основано на том, какие именно значения энергии составляют заветный список для атома водорода. Итогом (довольно сложных) действий с уравнением Шрёдингера явилась простая арифметика. Самую первую энергию в списке мы просто запишем как (1-я энергия) = –K; минус здесь потому, что энергия «пойманного» движения всегда отрицательна[211]. Пока мы просто ввели обозначение, но вторая энергия в списке получается из первой делением на 4: (2-я энергия) = –K/4; чтобы найти следующую за ней энергию, делим первую на 9: (3-я энергия) = –K/9; потом делим уже на 16 и так далее. Другими словами, энергия с номером n в списке равна – K/n², и таковы все возможные энергии электрона в атоме водорода! Тогда разность любых двух таких энергий – с каким-то номером n и каким-то другим номером k из списка – имеет вид K(1/k² – 1/n²). Именно такие энергии и несут излучаемые или поглощаемые фотоны. Энергия же фотона однозначно определяет его частоту и соответствующую длину волны (которая обратно пропорциональна энергии), и таким образом порядковые номера из списка разрешенных энергий проникают в длины световых волн, отвечающих линиям в спектре!

Обратные квадраты целых чисел для атома водорода

Сама по себе серия Бальмера отвечает переходам электрона в состояние со второй энергией из списка: число k надо взять равным 2, а числу n по очереди придавать те самые значения 3, 4, 5, 6 и далее, которые и усмотрел Бальмер. Полную формулу с двумя целыми числами n и k, развивая успех Бальмера, угадал в 1888 г. Ридберг[212]. Она описывала все спектральные линии водорода, но ее происхождение оставалось для современников загадочным, а значение буквы K представлялось совершенно произвольным. Сейчас, имея на руках решение уравнения Шрёдингера, мы видим, что буква K собрана из фундаментальных ингредиентов (заряда электрона, масс электрона и протона, а также постоянной Планка), которые на момент появления формулы относились к числу не просто неизвестных, а, собственно говоря, несуществующих.