Всё, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной от космических орбит до квантовых полей

Движение откликается на форму. Движение естественных и искусственных спутников, залетевших в гости комет и астероидов, да и чего угодно вблизи планеты (скажем, Земли) определяется тем, как именно эта планета притягивает. Но закон тяготения Ньютона ничего не говорит о том, как притягивает конкретная планета. Собственно, закон тяготения сообщает, как притягивают друг друга две точки, волшебным образом содержащие в себе массы M₁ и M₂ и разделенные расстоянием R. Таких точек в природе существовать не может: любое количество вещества всегда занимает какой-то объем, а в геометрическую точку нельзя запихнуть никакую массу. По некотором размышлении начинаешь удивляться, что закон тяготения вообще работает, несмотря на настолько нефизическое допущение в его формулировке. В действительности ньютоновский закон тяготения для таких «волшебных точек» работает вместе с предписанием о суммировании. Требуется представить планету, со всеми ее внутренностями, как собрание несметного числа малых кусков – настолько малых, чтобы каждый несильно отличался от точки. Каждый из них находится на своем расстоянии от (например) искусственного спутника, которым мы интересуемся. Притяжения от всех кусков, с учетом массы каждого и расстояния от него до спутника, надо затем сложить. Если все куски достаточно малы, получится неплохое приближение к точному ответу на вопрос о силе притяжения со стороны всей планеты в целом. Если требуется действовать точнее, надо разбивать планету на еще большее число кусков. Точность растет по мере уменьшения размеров всех кусков и одновременного увеличения их количества в разбиении. Такое разбиение и суммирование выполняются практически буквально, когда мы решаем задачу на компьютере; правда, ответ в этом случае получается все равно до некоторой степени приближенным (его точность может нас устраивать, но в принципе ее всегда можно улучшить). Ньютон изобрел математическую процедуру, в рамках которой «уже выполнено» разбиение на такие куски, которые меньше любых, какие можно себе вообразить, а получающийся ответ – точный. Эта процедура – интегрирование, уже встречавшееся нам в главе «прогулка 1». Математические правила игры при этом полностью определены, и единственная (зато большая) проблема состоит в том, что совсем не часто результат можно записать «в обозримом виде» – конечной формулой, непосредственно выражающей ответ.

Закон тяготения прост только для воображаемых точек

Однородная сфера притягивает точно к своему центру

Автор закона всемирного тяготения математически выяснил, что шар, равномерно заполненный веществом, притягивает максимально простым образом: так, как если бы вся его масса была сосредоточена строго в центре. Достаточно даже, чтобы по каждому сферическому слою вещество было распределено равномерно. Для Земли это означало бы, что она не просто имеет форму шара, но и на любой выбранной глубине (скажем, 8,2 км или 3587 км – любой) кубический сантиметр объема содержит одну и ту же массу и под Чукоткой, и под Кубой, и под Северным полюсом – везде. Тогда Земля и притягивала бы в точности как одна «волшебная точка», в которой непостижимым образом уместилась вся масса планеты; такова математика. Но даже беглый взгляд на раскраску глобуса показывает, что Земля неоднородна: для начала на ней есть океан и не-океан. По крайней мере поверхностный слой толщиной в несколько десятков километров неоднороден. Да Земля и не имеет формы шара! Не могу удержаться, чтобы не процитировать Азимова:

Земля – не сферическая

Когда люди думали, что Земля плоская, они ошибались. Когда люди думали, что Земля – шар, они ошибались. Но если вы считаете, что считать Землю шаром ошибочно в той же мере, в какой ошибочно считать ее плоской, то вы совершаете большую ошибку, чем те две ошибки, вместе взятые.

Рис. 4.7. Относительные отклонения земной поверхности от сферы преувеличены здесь в 10 000 раз. Выпуклости и вдавленности дополнительно показаны цветом. На черно-белом изображении оттенки красного (выпуклости) неотличимы от оттенков синего (вдавленности); см. цветное изображение: https://en.wikipedia.org/wiki/Figure_of_the_Earth#/media/File: Geoid_undulation_10k_scale.jpg