Закат Европы

Все рожденное из античного духа возводится, таким образом, в ранг действительности исключительно посредством пластического ограничивания. Что не поддается изображению, то не «число». Платон, Архит и Евдокс говорят о квадратных и кубических числах, когда имеют в виду нашу вторую и третью степень; само собою разумеется, для них нет более высоких степеней. Четвертая степень была бы бессмыслицей для пластического чувства глубины, которое сейчас же подставляет четырехмерную протяженность. Для них являлось бы абсурдом выражение вроде еix, постоянно встречающееся в наших формулах, или хотя бы обозначение 5 1/2, которое встречается у Орема уже в XIV столетии. Эвклид называет множители произведения сторонами (pleyrai). Когда ищут в целых числах отношения двух отрезков, то имеют дело, само собою разумеется, с конечными дробями. Именно поэтому идея нуля как числа совершенно не может появиться, так как графически она не имеет никакого смысла.

Нельзя возражать, исходя из привычки нашего иначе ориентированного мышления, что такое представление числа именно и является «изначальной стадией» единой математики. Античная математика есть нечто совершенное внутри того мира, который античность творила вокруг себя. Но для нас она не такова. То, что для античного миропонимания казалось бессмысленным, вавилонская и индийская математика давно сделали существенной частью своего мира чисел, и некоторые греческие мыслители знали об этом. Единая математика, повторяем, – иллюзия. Действительно то, что адекватно и символически значимо для собственной душевности. Одно это «необходимо для мышления», остальное – невозможно, ошибочно, бессмысленно или, как мы с высокомерием исторического склада мысли предпочитаем говорить, «примитивно». Современная математика, шедевр западноевропейского духа, – «истинная» только для этого духа – показалась бы Платону смешным и тягостным заблуждением на путях кистинной математике, античной конечно; и мы едва ли можем составить себе сколько-нибудь определенное представление о том, как много мы упустили в великих концепциях чуждых культур, потому что не могли ассимилировать их исходя из нашего духа и его границ, или, что то же самое, понимали их как ложное, лишнее и бессмысленное.

6.

Античная математика, как учение о наглядно представляемых величинах, хочет толковать исключительно фактическую наглядность, и она ограничивает, таким образом, свое исследование и область своей значимости предметностью близкого и малого. В противоположность этому ходу мыслей прикладной характер западной математики обнаруживается как нечто весьма нелогичное; это было ясно сознано лишь после открытия неэвклидовых геометрий. Числа – это чистые формы познающего духа. Их точная приложимость к реальной наглядности составляет ввиду этого особую проблему. Конгруэнтность математических систем с эмпирией меньше всего может считаться само собой разумеющейся. Вопреки предрассудку непосвященных, касающемуся непосредственной математической очевидности наглядного представления, как это встречается и у Шопенгауэра, геометрия Эвклида, которая имеет только поверхностное сходство с популярной геометрией всех времен, согласуется с наглядным представлением лишь приблизительно и в очень узких рамках («на бумаге»). Простой факт учит, что параллельные, как это бывает при больших удалениях, сходятся на горизонте. Вся перспектива живописи построена на этом. Вопреки этому Кант исходил из наивного сравнения величин; он, совершенно непростительно для западноевропейского мыслителя, уклонился от «математики далей» и исходил, совершенно по-«античному», из крошечных фигур, при которых, именно из-за их малости, не могла выявиться специфически западная, пространственная сторона проблемы бесконечно малых. Эвклид тоже избегал обращаться для наглядной достоверности своих аксиом к треугольнику, вершинами которого служат место наблюдателя и две неподвижные звезды и который, следовательно, не может быть ни нарисован, ни наглядно представлен. Но он имел на это право, как античный мыслитель. Здесь сказалось то же чувство, которое боялось иррационального, не решалось понимать ничто как число, как нуль и в рассмотрении космических явлений уклонялось от неизмеримого, чтобы сохранить символ меры.