Закат Западного мира. Очерки морфологии мировой истории

Теперь мы в состоянии понять, что отделяет одну математику от другой, и в первую очередь математику античную – от западной. По всему своему мироощущению зрелое античное мышление могло усматривать в математике лишь учение о соотношении величин, мер и форм материальных тел. Когда на основании этого ощущения Пифагор высказал решающую формулировку, то именно для него число было оптическим символом, не формой вообще или абстрактным отношением, но граничным знаком ставшего, поскольку это последнее выступает в чувственно обозримых частностях. Вся без исключения античность рассматривает числа в качестве единиц измерения, величин, отрезков, поверхностей. Другого вида протяжения она не в состоянии себе представить. Вся античная математика – это в конечном счете стереометрия. Говоря о треугольнике, Евклид, завершивший систему античной математики в III в., с внутренней необходимостью подразумевает лишь граничную поверхность тела: у него это никогда не будет система трех пересекающихся прямых или группа из трех точек в трехмерном пространстве. Он называет линию «длиной без ширины» (µ??? ???????). В устах нашего современника такое определение имело бы жалкий вид. В пределах античной математики оно изумительно.

Также и западное число не возникло, как полагали Кант и даже сам Гельмгольц, из времени как априорной формы созерцания, но представляет собой, как порядок единообразных единств, нечто специфически пространственное. Реальное время{21}, как это будет выясняться со все большей очевидностью, не имеет с математическими предметами вовсе ничего общего. Числа относятся исключительно к сфере протяженного. Однако сколько существует культур, столько же и возможностей (а значит, и необходимостей) представлять себе протяженное в упорядоченном виде. Античное число – это мышление не пространственных отношений, но отграниченных для телесного глаза, доступных чувствам единиц. По этой причине – и это следует с необходимостью – античность знает лишь «натуральные» (положительные, целые)

числа, которые играют ничем не примечательную роль среди множества в высшей степени абстрактных разновидностей чисел в западной математике – комплексных, гиперкомплексных, неархимедовых и прочих систем.

Поэтому также и представление иррационального числа, т. е. в нашей записи бесконечной десятичной дроби, осталось для греческого ума всецело неисполнимым. Евклид говорит (и его следовало бы понять получше), что несоизмеримые отрезки ведут себя «не как числа». В осуществленном понятии иррационального числа заключено полное отделение понятия числа от понятия

величины как раз таки потому, что такое число, например число ?, никогда не может быть представлено ограниченным или точно воспроизведенным отрезком. Однако из этого следует, что в представлении, например, отношения стороны квадрата к диагонали античное число, являющееся всецело чувственной границей, завершенной величиной,

внезапно соприкасается с совершенно иной разновидностью числа, которая оставалась чуждой и потому жутковатой для наиболее глубинных основ античного мироощущения, – словно накануне открытия опасной для собственного существования тайны. Об этом можно судить по тому диковинному позднегреческому мифу, согласно которому человек, давший публике созерцать иррациональное, исторгнув его из области сокрытого, погиб в кораблекрушении, «потому что несказанное и лишенное образа всегда должно оставаться сокрытым». Кто способен ощутить тот страх, который лежит в основе этого мифа, – а он тот же самый, что всякий раз отпугивал греков самого зрелого периода от распространения своих крошечных городов-государств до политически организованных ландшафтов, от закладки просторной уличной сети и аллей с далекими видами и просчитанными завершениями, от вавилонской астрономии с ее безбрежными звездными пространствами и от выхода за пределы Средиземного моря по маршрутам, которые были уже давно открыты судами египтян и финикийцев; это глубокий метафизический страх распада чувственно постижимого и нынешнего, которым, как оборонительными стенами, окружила себя античность, позади чего дремлет нечто жуткое, бездна и первооснова этого, так сказать, искусственно созданного и утвержденного космоса, – кто постиг это чувство, постигнет также и окончательный смысл античного числа, меры в противоположность неизмеримому, как и возвышенную религиозную мораль в его ограничении. Гёте как естествоиспытателю это было прекрасно известно – отсюда его едва ли не пугливый протест против математики, который был на самом деле непроизвольно направлен (чего никто еще не понял) всецело против неантичной математики, против лежавшего в основе современного ему учения о природе исчисления бесконечно малых.