Закат Западного мира. Очерки морфологии мировой истории

И наконец, все содержание западного числового мышления фокусируется в классической для фаустовской математики проблеме предела, скрывающей в себе ключ к тому труднодоступному понятию бесконечного (фаустовского бесконечного), которое весьма удалено от бесконечности арабского и индийского мироощущения. Речь идет о

теории предела, вне зависимости от того, будет ли соответствующее число рассматриваться по отдельности как бесконечный ряд, кривая или функция. Предел этот является полной противоположностью античного, до сих не называвшегося данным именем, который обсуждался в связи с квадратурой круга, этой классической задачей на предел. Еще в XVIII в. вульгарно-евклидовские предубеждения затемняли смысл дифференциального принципа. С какой бы осмотрительностью ни применялось поначалу вполне доступное понятие бесконечно малого, все равно на нем тяготело нечто от античной постоянной, тень величины, пускай даже Евклид не усмотрел бы ее здесь и не признал за таковую. Нуль является константой, целым числом линейного континуума между +1 и –1; исследованиям Эйлера в области анализа повредило то, что он (как и многие вслед за ним) считает дифференциалы за нули. Лишь Коши окончательно прояснил понятие предела,

что позволило покончить с этим остатком античного числового ощущения и превратило исчисление бесконечно малых в непротиворечивую систему. Лишь шаг, сделанный от «бесконечно малой величины» к «нижнему пределу любой возможной конечной величины» приводит к концепции переменного числа, которое принимает значения, меньшие всякой отличной от нуля конечной величины, и, следовательно, уже не обладает никаким, даже самым незначительным, свойством величины. В этом окончательном виде предел вообще не является тем, к чему нечто приближается. Он сам представляет собой приближение, т. е. процесс, операцию. Предел – не состояние, но поведение. Именно здесь, в решающей проблеме западной математики, внезапно обнаруживается, что в нашей душевности заложена

историчность[61].

16

Освобождение геометрии от созерцания, а алгебры – от понятия величины, объединение их обоих в мощное здание теории функций, находящееся по другую сторону всех элементарных границ конструкций и вычислений, – вот великий путь западного числового мышления. Так античное постоянное число разрешилось в число переменное. Ставшая аналитической геометрия упразднила все конкретные формы. Она заменяет математические тела, на косном образе которых отыскивались геометрические значения, абстрактно-пространственными отношениями, которые вообще в конечном счете более не применимы к фактам чувственно данного созерцания. Вначале она заменяет оптические образы Евклида геометрическими местами точек по отношению к системе координат, начальная точка которой может быть произвольно выбрана, и сводит предметное существование геометрических объектов к тому требованию, что в ходе операции, которая направлена теперь уже не на измерения, но на уравнения, выбранная система не должна изменяться. Однако тотчас же координаты начинают пониматься исключительно как чистые значения, которые не столько определяют положение точек как абстрактных пространственных элементов, сколько репрезентируют их и заменяют. Число, предел ставшего, теперь символически представляется не образом фигуры, но образом уравнения. «Геометрия» меняет свой смысл на противоположный: система координат исчезает как образ, а точка теперь – это всецело абстрактная группа чисел. То, как благодаря новшествам Микеланджело и Виньолы архитектура Возрождения переходит в барокко, является точным отображением этого внутреннего преобразования анализа. Проясненные для чувств линии фасадов дворцов и церквей сразу делаются вдруг недействительными. Взамен четких координат флорентийско-римской расстановки колонн и членения этажей являются «инфинитезимальные» элементы изогнутых, текучих строительных украшений, волютов, картушей. Конструкция исчезает в полноте декоративного – выражаясь математически, функционального – момента; объединенные в группы и пучки колонны и пилястры, то собираясь вместе, то рассеиваясь, заполняют собой фронтоны, не давая глазу успокоиться ни на чем; поверхности стен, крыш, этажей разрешаются в половодье лепных украшений и орнаментов, исчезают и распадаются от красочных световых воздействий. Однако свет, который ныне разливается по этому миру форм зрелого барокко (начиная с Бернини ок. 1650 г. и вплоть до рококо в Дрездене, Вене и Париже), стал чисто музыкальным элементом. Дрезденский Цвингер – это симфония. Заодно с математикой также и архитектура развилась в XVIII в. в мир форм музыкального характера.

17