Занимательные опыты и задачи по физике

Из этого можно, между прочим, почерпнуть важное указание, вскрывающее сущность рассматриваемого явления, а именно, что преломление обусловлено различием скорости света в обеих средах. Чем больше различие в скорости, тем значительнее преломление; так называемый «показатель преломления», характеризующий величину излома лучей, есть не что иное, как отношение этих скоростей. Когда вы читаете, что показатель преломления при переходе из воздуха в воду есть 4/3, то вы, вместе с тем, узнаёте, что свет движется в воздухе примерно в 1,3 раза скорее, чем в воде.

А в связи с этим находится и другая поучительная особенность распространения света. Если в случае отражения световой луч следует кратчайшим путем, то в случае преломления он избирает скорейший путь: никакое другое направление не приводит луч так скоро к «месту назначения», как этот изломанный путь.

Когда длинный путь проходится быстрее, чем короткий?

Но неужели ломаный путь может быстрее привести к цели, чем прямой? Да, в тех случаях, когда скорость движения в различных частях пути различна. Вспомните, что приходится делать жителям деревни, расположенной между двумя железнодорожными станциями в соседстве с одной из них. Чтобы попасть скорее на дальнюю станцию, они едут на лошади сначала в обратном направлении, к ближайшей станции, там садятся в поезд и едут на место назначения. Им короче было бы, разумеется, прямо ехать туда на лошади, но они предпочитают более длинный путь на лошади и в вагоне, потому что он приводит к цели скорее.

Уделим минуту внимания еще одному примеру. Кавалерист должен прибыть с донесением из точки А к палатке командира в точке C (рис. 109). Его отделяют от палатки полоса глубокого песка и полоса луга, разграниченные между собой прямой линией EF, По песчаной почве лошадь движется

вдвое медленнее, чем по лугу. Какой же путь должен выбрать кавалерист, чтобы достигнуть палатки в кратчайшее время?

Рис. 109. Задача о кавалеристе. Найти скорейший путь из А в С.

На первый взгляд кажется, что самый скорый путь – прямая линия, проведенная от A до С.

Но это совершенно ошибочно, и я не думаю, чтобы нашелся кавалерист, который выбрал бы такой путь. Медленное движение по песку наведет его на правильную мысль сократить эту медленную часть пути, прорезав песчаную полосу по менее косой линии; конечно, тем самым удлинится вторая часть пути – по лугу; но так как по лугу можно двигаться вдвое быстрее, то удлинение пути не перевесит полученной выгоды, и в общем итоге путь будет проделан в меньший промежуток времени. Другими словами, путь кавалериста должен преломиться на границе обоих родов почвы и притом так, чтобы путь по лугу составлял с перпендикуляром к границе больший угол, чем путь по песчаной почве.

Кто знаком с геометрией, именно с теоремой Пифагора, тот может проверить, что прямой путь AC действительно не является путем скорейшим и что при тех размерах для ширины полос и расстояний, которые мы здесь имеем в виду, можно скорее достичь цели, если направиться, например, по ломаной АЕС

(рис. 110).

Рис. 110. Решение задачи о кавалеристе. Скорейший путь АМС.

На рис. 109 указано, что ширина песчаной полосы 2 км, луговой – 3 км, а расстояние ВС – 7 км. Тогда вся длина AC (рис. 110,) равна, по теореме Пифагора, √(52 + 72) = √74 = 8,60 км. Часть AN – путь по песку – этого отрезка составляет, как легко сообразить, ⅖ этой величины, т. е. 3,44 км. Так как по песку движение происходит вдвое медленнее, чем по лугу, то 3,44 км песчаного пути равнозначны, в смысле требуемого времени, 6,88 км по лугу. И, следовательно, весь смешанный путь по прямой АС, равный 8,60 км, соответствует 12,04 км пути по лугу.

Сделаем такое же «приведение к лугу» и для ломаного пути АЕС. Часть АЕ = 2 км и соответствует 4 км пути по лугу.

Часть ЕС = √(3² + 7²) = √58 = 7,61 км. Итого весь ломаный путь AEC отвечает 4 + 7,61 = 11,61 км.

Итак, «короткий» прямой путь соответствует 12,04 км движения по лугу, а «длинный» ломаный – всего только 11,61 км по той же почве. «Длинный» путь, как видите, дает выгоду в 12,04–11,61 = 0,43, почти в полкилометра!

Но мы не указали еще самого быстрого пути. Быстрейший путь, как учит теория, будет тот, при котором (нам придется здесь обратиться к услугам тригонометрии) синус угла b относится к синусу угла a, как скорость на лугу относится к скорости на песке, т. е. как 2:1.

Другими словами, нужно выбрать направление так, чтобы sin b был вдвое больше sin а. Для этого нужно перешагнуть границу между полосами в такой точке m, которая находится в одном километре от Е.

Действительно, тогда

отношение

т. е. как раз отношению скоростей.

А какова будет в таком случае «приведенная к лугу» длина пути? Вычислим: AM = 2² + 1², что отвечает 4,47 км пути по лугу. МС = 45 = 6,71 км. Длина всего пути 4,47 + 6,71 = 11,18, т. е. на 860 км короче прямолинейного пути, который, как мы уже знаем, соответствует 12,04 км.