Живая математика. Занимательные задачи для любознательных умов

На сколько именно? Это можно рассчитать. На рис. 6 вы видите маршрут дирижабля: АВСВЕ. Точка N — Северный полюс; в этой точке сходятся меридианы АВ и ВС. Дирижабль пролетел сначала 500 км на север, то есть по меридиану АN Так как длина градуса меридиана 111 км, то дуга меридиана в 500 км содержит 500: 111 = 4°,5. Ленинград лежит на 60-й параллели; значит, точка В находится на 60° + 4°,5 = 64°,5. Затем дирижабль летел к востоку, то есть по параллели ВС, и прошёл по ней 500 км. Длину одного градуса на этой параллели можно вычислить (или узнать из таблиц); она равна 48 км. Отсюда легко определить, сколько градусов пролетел дирижабль на восток: 500: 48 = 10°,4. Далее воздушный корабль летел в южном направлении, то есть по меридиану СВ, и, пройдя 500 км, должен был очутиться снова на параллели Ленинграда. Теперь путь лежит на запад, то есть по АВ; 500 км этого пути явно короче расстояния АВ. В расстоянии АВ

заключается столько же градусов, сколько и в ВС, то есть 10°,4. Но длина Г на ширине 60° равна 55,5 км. Следовательно, между А и В расстояние равно 55,5 x 10,4 = 577 км. Мы видим, что дирижабль не мог спуститься в Ленинграде; он не долетел до него 77 км, то есть спустился на Ладожском озере.

8. Беседовавшие об этой задаче допустили ряд ошибок. Неверно, что лучи Солнца, падающие на земной шар, заметно расходятся. Земля так мала по сравнению с расстоянием её от Солнца, что солнечные лучи, падающие на какую-либо часть её поверхности, расходятся на неуловимо малый угол: практически лучи эти можно считать параллельными. То, что мы видим иногда (при так называемом «иззаоблачном сиянии», см. рис. 4) лучи Солнца, расходящиеся веером, – не более, как следствие перспективы.

Рис. 7

В перспективе параллельные линии представляются сходящимися; вспомните вид уходящих вдаль рельсов (рис. 7) или вид длинной аллеи.

Однако из того, что лучи Солнца падают на землю параллельным пучком, вовсе не следует, что полная тень дирижабля равна по длине самому дирижаблю. Взглянув на рис. 8, вы поймёте, что полная тень дирижабля в пространстве суживается по направлению к земле и что, следовательно, тень, отбрасываемая им на земную поверхность, должна быть короче самого дирижабля: СВ меньше, чем АВ.

Если знать высоту дирижабля, то можно вычислить и то, как велика эта разница. Пусть дирижабль летит на высоте 1000 м над земной поверхностью. Угол, составляемый прямыми АС

и BD между собою, равен тому углу, под которым усматривается Солнце с земли; угол этот известен: около 1/2 °, С другой стороны, известно, что всякий предмет, видимый под углом в 1/2 °, удалён от глаза на 115 своих поперечников. Значит, отрезок MN (этот отрезок усматривается с земной поверхности под углом в 1/2 °) должен составлять 115-ю долю от АС?. Величина АС больше отвесного расстояния от А до земной поверхности. Если угол между направлением солнечных лучей и земной поверхностью равен 45°, то АС (при высоте дирижабля 1000 м) составляет около 1400 м, и, следовательно, отрезок MN равен = 12 м.

Рис. 8

Но избыток длины дирижабля над длиною тени, то есть отрезок МВ, больше MN, а именно больше в 1,4 раза, потому что угол MBD почти точно равен 45°. Следовательно, МВ равно 12 x 1,4; это даёт почти 17 м.

Всё сказанное относится к полной тени дирижабля – чёрной и резкой и не имеет отношения к так называемой полутени, слабой и размытой.

Расчёт наш показывает, между прочим, что, будь на месте дирижабля небольшой воздушный шар, диаметром меньше 17 м, он не отбрасывал бы вовсе полной тени; видна была бы только его смутная полутень.

9. Задачу решают с конца. Будем исходить из того, что после всех перекладываний число спичек в кучках сделалось одинаковым. Так как от этих перекладываний общее число спичек не изменилось, осталось прежнее (48), то в каждой кучке к концу всех перекладываний оказалось 16 штук.

Итак, имеем в самом конце:

Непосредственно перед этим в 1-ю кучку было прибавлено столько спичек, сколько в ней имелось; иначе говоря, число спичек в ней было удвоено. Значит, до последнего перекладывания в 1-й кучке было не 16, а только 8 спичек. В кучке же 3-й, из которой 8 спичек было взято, имелось перед тем 16 + 8 = 24 спички.

Теперь у нас такое распределение спичек по кучкам:

Далее: мы знаем, что перед этим из 2-й кучки было переложено в 3-ю столько спичек, сколько имелось в 3-й кучке. Значит, 24 – это удвоенное число спичек, бывших в 3-й кучке до этого перекладывания. Отсюда узнаем распределение спичек после первого перекладывания:

Легко сообразить, что раньше первого перекладывания (то есть до того, как из 1-й кучки переложено было во 2-ю столько спичек, сколько в этой 2-й имелось) распределение спичек было таково:

Таковы первоначальные числа спичек в кучках.