Журнал «Компьютерра» № 16 от 25 апреля 2006 года

В давние, давние времена компьютеры занимались только своими прямыми обязанностями: они считали. Складывали и вычитали, решали системы уравнений, интегрировали и дифференцировали. Рассчитывали траектории баллистических ракет и аэродинамические характеристики самолетов, предсказывали погоду и моделировали атомные реакторы. С тех пор отношение к технике, которая когда-то называлась вычислительной, сильно изменилось – и сейчас во многих домашних и офисных компьютерах самой сложной «математической» программой является стандартный «Калькулятор». Неужели математика сдала свои позиции в эпоху персональных компьютеров?

Компьютеры и математика

Разумеется, это не так. Просто компьютеры в полной мере демонстрируют свое главное свойство: быть универсальным устройством – каждый получает от них то, что ему нужно. Так что если вы являетесь студентом, инженером или научным сотрудником и вам требуется решать на ПК именно математические задачи, то современные компьютеры открывают перед вами самые широкие возможности.

Существует множество программ, предназначенных для узкоспециализированных математических расчетов. Больше всего известны и широко распространены универсальные пакеты-комбайны, пригодные для занятий самой разной математической деятельностью. По функциональности они делятся в целом на две категории: пакеты, предназначенные в основном для численных расчетов (например, MatLab) и системы компьютерной алгебры (Computer Algebra System), к которым относятся Mathematica, Maple и (отчасти) MathCAD – они также называются системами символьных или аналитических вычислений (Symbolic Manipulation Program). Это наиболее универсальные математические программы, способные решать самые разные задачи, причем как численно, так и точно – аналитически.

Возможностей у подобного софта – множество, и есть только одна проблема: все эти программы довольно дороги. А как же свободное программное обеспечение, спросите вы? Оказывается, и здесь дело обстоит неплохо. Существуют альтернативы как для MatLab (системы Octave и Scilab), так и свободные системы аналитических вычислений – Maxima и Axiom. О последних и поведем речь.

Системы аналитических вычислений

Но сначала чуть подробнее о том, что же умеют делать универсальные системы компьютерной алгебры, к которым относятся Maxima и Axiom. Если кратко, то подобные программы обладают «знаниями» алгебры и математического анализа в объеме первых курсов любого технического университета. Системы аналитических вычислений (САВ) умеют преобразовывать выражения: упрощать, приводить подобные, раскрывать скобки или, наоборот, группировать подобные члены. Они умеют вычислять производные, пределы и интегралы, решать системы алгебраических и дифференциальных уравнений, производить вычисления с матрицами. Могут упрощать и преобразовывать тригонометрические выражения. Все это делается точно, аналитически.

Впрочем, не всякая задача имеет точное решение, и поэтому численные вычисления тоже не забыты, причем с рядом очень приятных особенностей. Так, величина целых чисел неограничена, а вычисления с плавающей точкой могут выполняться с любой заранее заданной точностью. Хотите увидеть факториал 1000 – пожалуйста! А ведь это число с 2568 цифрами. Хотите число с сотней знаков после запятой – никаких проблем! Главное, чтобы хватило вычислительных ресурсов компьютера[Распечатка числа p со ста знаками после запятой хранится у меня дома как реликвия из далекого 1981 года. Вычислялось оно на отечественной ЦВМ «Мир-1», умевшей работать с произвольно задаваемой точностью чисел, с помощью встроенной функции arcos(-1). Процесс расчета занимал около пятидесяти минут, а ресурсов там было – 600-килогерцовое АЛУ, 4 Кбайт оперативной памяти на магнитных сердечниках и никаких внешних накопителей, кроме считывателя перфоленты. – С.Л.]. Ну и наконец, построение красивых графиков – неотъемлемая часть любой системы аналитических вычислений. Математика – наука абстрактная, а человеческое мышление образно. Хорошо известно – подавляющая часть информации поступает к человеку через зрение, поэтому без визуализации математических данных не обойтись.

Помимо основных математических возможностей, каждая система аналитических вычислений имеет встроенный язык программирования. С помощью этого языка возможности системы можно расширять, и каждая САВ имеет большую библиотеку пакетов для решения специальных математических задач.