Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков

В Ньютоновой механике сохраняемой величиной, соответствующей однопараметрической группе временно́го сдвига, оказывается энергия. Этот факт выявляет замечательную связь между энергией и временем, которая проявляется также в принципе неопределенности в квантовой механике, что позволяет квантовой системе заимствовать энергию (которая при этом временно не сохраняется), при условии что она вернет эту энергию обратно, прежде чем природа заметит непорядок (стоит подождать долю секунды – и энергия вновь сохраняется). Сохраняемой величиной, соответствующей однопараметрической группе пространственных переносов, оказывается импульс в соответствующем направлении, а группе вращений – момент импульса. Короче говоря, все фундаментальные сохраняемые величины Ньютоновой механики исходят из непрерывных симметрий Ньютоновых законов движения – однопараметрических подгрупп Евклидовой группы. Этот же принцип выполняется для теории относительности и, до некоторой степени, для квантовой механики.

Неплохо для математика – женщины, которую считали не способной читать лекции и которая лишь недавно начала работать над этой задачей.

На основании успехов Нётер Гильберт и Клейн попытались убедить университет изменить свое отношение к женщинам-преподавателям. В игру вступили как академическая политика, так и прочно въевшийся мужской шовинизм; в общем, профессура факультета философии была категорически против. Если женщина может пройти хабилитацию и брать деньги за лекции, что помешает ей стать профессором и членом университетского сената? Боже сохрани! Первая мировая война была в полном разгаре, и это давало им дополнительный аргумент: «Что подумают наши солдаты, когда вернутся в университет и обнаружат, что им предлагается учиться у женщины?»

Ответ Гильберта был резок и язвителен: «Господа, я не понимаю, почему пол кандидата может быть аргументом против ее принятия на должность приват-доцента. В конце концов, сенат – не баня». Но даже это не сдвинуло философов с занятых позиций ни на миллиметр. Гильберт, как всегда изобретательный и дерзкий, все же нашел решение. В уведомлении на зимний семестр 1916–1917 гг. читаем:

Семинар математической физики

Профессор Гильберт, ассистирует д-р Э. Нётер

По понедельникам с 4 до 6, бесплатно.

Четыре года Нётер читала лекции под именем Гильберта, пока университет наконец не сдался. Хабилитация была одобрена в 1919 г., что позволило ей получить должность приват-доцента. Вплоть до 1933 г. Нётер оставалась ведущим сотрудником факультета.

Мы можем представить себе способности Нётер как лектора на основании фокуса, который однажды предприняли ее отчаявшиеся студенты. Обычно к ней на лекции являлось 5–10 студентов, но однажды она с удивлением застала в аудитории не меньше сотни молодых людей. «Должно быть, вы ошиблись аудиторией», – предположила она, но молодые люди настаивали, что пришли послушать именно ее. Пришлось ей читать лекцию в таком необычно большом собрании.

Когда Нётер закончила, один из постоянных слушателей ее лекций передал ей записку. «Гости поняли лекцию так же хорошо, как любой из постоянных посетителей».

Проблема с ее лекциями заключалась в том, что, в отличие от большинства математиков, Нётер обладала формульным мышлением. Для нее символы и были понятиями. Чтобы понимать ее лекции, нужно было мыслить так же. А это трудно.

Несмотря на это, именно Нётер с ее упором на формальные структуры суждено было проложить путь к значительной части современной математики. Иногда что-то приходится делать стиснув зубы.

* * *

Благополучно пройдя хабилитацию, Нётер быстро сменила поле деятельности и начала с того, чем закончил Дедекинд, когда заменил туманное понятие идеального числа, введенное Кюммером, на концептуально более простое, но и более абстрактное понятие идеала. Контекст для такого подхода сам по себе был абстрактным: теория колец – алгебраических систем, в которых сложение, вычитание и умножение определены и удовлетворяют обычным правилам, за возможным исключением коммутативного закона умножения xy = yx. Кольца образуют целые и действительные числа, а также полиномы от одной или нескольких переменных.

Мы можем получить некоторое представление об этих системах на примере обычных целых чисел. Традиционный способ думать о простых числах и делимости состоит в том, чтобы работать с конкретными целыми числами, такими как 2, или 3, или 6. Мы видим, что 6 = 2 × 3, так что 6 – не простое число; с другой стороны, для 2 или 3 такое разложение на меньшие числа невозможно, так что эти числа – простые. Но, как понял еще Дедекинд, существует и другой способ в этом убедиться. Рассмотрим множества, образованные всеми числами, кратными 6, 2 и 3, которые я обозначу следующим образом: