Знание-сила, 2001 № 02

Бессмыслица какая-то… И, тем не менее, как это ни удивительно, мы, не замечая того, часто имеем дело с дробной размерностью. Подобно герою мольеровской пьесы, который был несказанно удивлен, узнав, что всю свою жизнь говорит прозой! Давайте разберемся в этом подробнее.

Возле самого начала

Согласно современным представлениям, Вселенная родилась в сполохе грандиозного взрыва. Что было ему причиной и каким был мир ранее (и был ли он вообще) – на эти вопросы у физиков есть некоторые ответы, но это – тема другого рассказа. Мы будем пока считать, что все было именно так.

Модельные оценки и расчеты, основанные на формулах эйнштейновской теории гравитации, говорят о том, что новорожденная Вселенная имела чудовищную плотность и фантастически малый размер – что-то около 10-33 сантиметра. Чтобы нагляднее представить себе эту величину, заметим, что она во столько раз меньше атома, во сколько раз футбольное поле меньше размера видимой в самые мощные телескопы части окружающего нас космоса. Размерность пространства внутри такой сверхплотной капельки материи, в которой действовала сложная суперпозиция гравитационных и квантовых законов, могла быть сколь угодно большой. Это было нечто такое, к чему наши пространственно-временные представления просто не применимы. Основываясь на экстраполяции формул известной нам квантовой и гравитационной теории, можно лишь утверждать, что испытывавшая огромное внутреннее давление сверхплотная Вселенная стремилась быстро расширяться. При этом, подобно тому как трехмерный ком смятой бумаги при растяжении распрямляется в плоский двумерный лист, ее размерность уменьшалась, пока не достигла современного предельного значения, равного трем.

Почему именно трем? Этого мы пока не знаем. Возможно – случайно. Предельная размерность других вселенных может быть иной, только там не могли бы существовать устойчивые атомы, и вместо привычного нам атомарно-молекулярного вещества там было бы что-то иное, какие-то другие материальные структуры.

Химики часто наблюдают процесс полимеризации, когда простые молекулы объединяются в сложные полимеры. Можно предполагать, что при расширении Вселенной происходил похожий процесс – ультрамалые многомерные кванты пространства объединялись в «полимерные кружева», стремительно расширяясь в стороны. Число этих сторон зависело от структуры, «узора» кружева и уменьшалось по мере «выпрямления» капельки правешества, смятой чудовищными силами первородного взрыва. Если воспользоваться теми же статистическими закономерностями, что в теории полимеризации, то можно вывести уравнение, описывающее процесс расширения Вселенной, где ее размерность оказывается связанной с ее радиусом.

Правда, там есть некоторый неопределенный коэффициент, но если в уравнение подставить современные значения размерности и радиуса Вселенной, то величина коэффициента становится известной, и мы с помощью уравнения можем вернуться в прошлое и оценить размерность нашего мира в то время, когда его радиус был порядка 10 -32 – 10-33 сантиметра. Получается, что размерность тогда была действительно чрезвычайно большой – практически бесконечной. Понятно, что понятие размерность в этом случае просто теряет свой смысл, и топологию Вселенной в первые мгновения ее жизни следует описывать в каких-то совершенно иных понятиях.

Анализ эволюционного уравнения показывает, что целочисленной размерность нашего мира была крайне редка, большую часть времени он пребывал в состояниях с дробным числом сторон света.

Конечно, все эти выводы получены в рамках очень грубых моделей, и они лишь подсказывают нам, что могло быть в реальной Вселенной. Но, как говорится, в каждой сказке есть намек. С идеей многомерных миров современная физика уже освоилась. Этому посвящено множество научно-популярных статей, идея эксплуатируется и в произведениях писателейг-фантастов. Но вот картина мира с изменяющейся во времени, к тому же еще и дробной размерностью мира еще только входит в обиход физиков.

Что представляет собой дробная размерность, как можно се себе вообразить?

Звонкое слово «фрактал»

Казалось бы, если двигаться вдоль линии, то какой бы извилистой она ни была, всегда можно измерить ее длину и длину любого ее отрезка. Однако тут интуиция нас подводит. Вот простой пример. Предположим, что мы должны измерить длину береговой линии острова. Приступив к решению этой, на первый взгляд простой задачи, мы вскоре убедимся, что она не имеет решения. Длина береговой линии зависит от масштаба карты. Чем он крупнее, тем более зазубренным и протяженным становится контур острова. Берега больших заливов изрезаны множеством более мелких, которые в свою очередь имеют массу небольших бухточек, и так далее. Длина периметра острова всс время возрастает и становится неопределенной. Поразительно, но у береговой линии нет длины!