100 великих научных открытий

Не думали ученые и о том, что задачи, предполагающие проведение касательных, как-то связаны с нахождением площадей. Да, в XVII в. уже знали, что касательная к окружности перпендикулярна ее радиусу. И даже умели чертить касательные к более извилистым кривым — для этого следовало провести прямую через две ближайшие точки кривой. Но о том, что такое умение может помочь в определении, например, изменений скорости на минимальных отрезках пути или температуры воздуха за минимальные временные периоды, долгое время не догадывались.

Лишь к середине столетия ученых осенило: а ведь упражнения с касательными — это обратная сторона поиска площадей под кривыми. Точки кривой (в частности, графика функции), через которые проходит касательная, указывают на изменение какого-либо процесса за бесконечно малый промежуток времени, а площадь под этой кривой демонстрирует общий результат процесса и складывается из множества минимальных изменений. Путешествуя, мы можем фиксировать скорость движения с интервалом, скажем, в полчаса. Это позволит нам построить график изменения скорости со временем и узнать, как она уменьшалась либо увеличивалась на каждом минимальном отрезке пути за каждый минимальный временной период. Нужно только провести луч через две точки кривой, расположенные так близко одна к другой, что прямая пройдет по касательной. Угол между лучом и горизонтальной осью покажет элементарное изменение скорости (производную). Проделаем эту операцию на всем участке кривой, соответствующем продолжительности путешествия, отмеченной на горизонтали, — то есть дифференцируем функцию. А потом определим полное пройденное расстояние: проведем из каждой точки, обозначенной на кривой, перпендикуляры к временной оси. Вычислим площадь каждой узенькой полоски между отрезками и сложим все значения. Так мы интегрируем функцию. Если построить еще один график по точкам, отображающим показатели мгновенных изменений, то получится производная функция. А ее «прародительница» станет первообразной.

Первым, кто смог связать касательные и площади, дифференцирование и интегрирование, а главное, прописать четкие законы этих процессов на основе уже имевшихся многочисленных алгоритмов, был немецкий математик и физик Готфрид Лейбниц (1646–1716). Именно он придумал значок интегрирования ∫ — от буквы S

, символизирующей суть такого исчисления: summa. А еще сформулировал основную теорему математического анализа, которую независимо от него вывел автор законов движения и всемирного тяготения — Исаак Ньютон. Согласно этой теореме, чтобы найти площадь между графиком функции и определенным отрезком абсциссы, нужно вычислить разность двух крайних значений первообразной, которые соответствуют концу и началу заданного отрезка. Само слово «интеграл» (что значит «восстановленный, целый») принадлежит швейцарскомуматематику Якобу Бернулли, а «интегральное исчисление» — его младшему брату Иоганну.

В XIX в. изучением возможностей интегрирования и дифференцирования, объединенных в анализ бесконечно малых, занимались французские математики Огюстен-Луи Коши и Анри Лебег, немецкий ученый Бернгард Риман и другие. Последний изобрел собственный метод интегрирования, который на примере можно описать так: если вам на голову вдруг свалился мешок денег и вы хотите узнать точную сумму, сначала рассортируйте их по номиналу (например, стопка купюр в одну гривну, в две гривны, пять, десять, двадцать и т. д.), затем посчитайте количество купюр в каждой пачке, умножьте каждое число на соответствующий номинал и сложите все значения.

Очевидно, что интеграл и дифференциал, открытые в XVII в., значительно облегчили многие виды задач на вычисление, повысили точность расчетов и позволили отслеживать малейшие изменения любых жизненных процессов.

Теорема Ферма

История создания этой теоремы вовсе не так богата и увлекательна, как история ее доказательств. Суть теоремы в том, что сумма чисел в энной степени (превышающей 2) может дать результат в такой же степени лишь тогда, когда все элементы головоломки не натуральные. В XVII в. об этом заявил француз Пьер Ферма (1601–1665) — юрист по образованию и математик по призванию. А идею ему подбросил… Пифагор. В VI в. до н. э. греческий математик нашел подобную закономерность, только для второй степени: если квадраты двух чисел в сумме дают еще одно число в квадрате, то все эти числа натуральные, и первые два составляют длины катетов прямоугольного треугольника, а третье — гипотенузы.