100 великих научных открытий

Услышав эту новость, шевалье радостно принялся всех обыгрывать, но вскоре соперники подметили его хитрость и перестали с ним сражаться. Мере попробовал еще один вариант — и ошибся. И тогда у него возникла мысль: а может, делить ставку еще до окончания партии? Как это лучше сделать, он снова-таки спросил у Паскаля. Условие было таким: двое игроков поставили по 50 монет и договорились бросать кубики, пока кто-либо не одержит три победы; одному удалось победить дважды, другому — один раз, и если выбросить кости еще по разу, то либо первому игроку достанется вся ставка (100 монет), либо будет ничья. Исходя из этого, первый игрок вполне может отказаться от следующей партии, ведь 50 монет у него уже есть, а еще 50 могут достаться и ему, и его сопернику с равной вероятностью, потому справедливо было бы разделить их поровну. В итоге, не доводя игру до победного конца, первый участник заберет 75 монет, а второй — 25, то есть их шансы на выигрыш составляют 3:1.

Мере такой исход устроил, но его интересовал еще один вопрос: сколько раз нужно бросить два кубика, чтобы выпало 12 очков? В поисках ответа Паскаль определил все комбинации цифр на гранях костей и по количеству этих сочетаний подсчитал возможную частоту выпадений. А между тем шевалье озадачил своими проблемами еще одного математика — Пьера Ферма (1607–1665). Поскольку Пьер жил в Париже, а Мере и Блез — в Тулузе, общаться им пришлось письменно, однако результаты полностью сошлись, хотя Ферма использовал свой фирменный метод, отличный от алгоритма Паскаля. На почве общего увлечения математики заочно подружились, и некоторое время спустя их общий труд вдохновил голландского ученого Христана Гюйгенса (1629–1695) последовательно изложить теорию вероятностей в серии статей «О расчетах к азартной игре».

Гюйгенс первым догадался ввести понятие математического ожидания — усредненного показателя, вокруг которого сосредоточены все вероятностные значения, — и применить его для решения разных вариаций задач Мере. Более того, несмотря на название своей работы, голландский математик подчеркнул, что данная теория будет полезна не только в игровом деле, но и в других сферах жизни.

Его слова оказались пророческими. Сто лет спустя теория вероятностей стала использоваться в статистических выкладках: какие профессии будут самыми нужными и сколько представителей каждой из них потребуется на рынке труда? Какое число девочек и мальчиков родится в будущем году? Насколько изменится уровень доходов и затрат? А в конце XIX в. теория пригодилась даже физикам — чтобы угадывать возможное количество элементарных частиц в том или ином веществе.

В ХХ в. от теории вероятностей «отпочковалась» теория игр, направленная на выбор лучшей стратегии в любой игре, будь то рыночная конкуренция, отношения начальника и подчиненных, учителя и учеников, следователя и обвиняемых, в конце концов, участников спортивных состязаний. При этом учитывалось, что каждый участник отстаивает собственные интересы, у каждого имеется свой план А, план Б и т. д., а значит, чтобы выбрать оптимальный путь, нужно не только ориентироваться на самый лакомый кусок для себя, но и иметь в виду действия противника, который хочет того же.

В 1948–1949 гг. американский студент Джон Форбс Нэш написал диссертацию на тему равновесия в некооперативных играх — отношениях, участники которых имеют общую цель, но не могут объединиться ради ее достижения. Собственно, равновесие Нэша предполагало, что никто не выиграет, если будет думать только о себе.

Для наглядного примера ученый описал ситуацию, когда двое преступников, арестованных одновременно за схожие злодеяния, получают возможность либо молчать, либо выдвинуть обвинение друг против друга. В первом случае каждый получит по шесть месяцев; в случае обоюдного обвинения и тому, и другому грозят два года заключения; а если свидетельствовать будет только один из них, то его выпустят, а обвиненного посадят на десять лет. Рассудив, что шесть месяцев — лучше, чем два года (или, не дай бог, десять лет), каждый подозреваемый, скорее всего, пожертвует призрачной свободой и смолчит.

В экономике тот же принцип влияет на цены. Казалось бы, любому бизнесмену выгодно установить высокую цену на свой товар, но он знает, что клиенты пойдут туда, где дешевле, поэтому будет удерживать некую оптимальную среднюю стоимость. Так происходит негласный сговор о ценовой политике.

Можно сказать, посредством теории вероятностей/игр Нэш математически установил баланс личной и общей выгоды, сформулировал правила торговых сделок, разработал законы конкуренции.

Теория множеств

Кажется удивительным, что представление о числовых множествах появилось лишь в позапрошлом столетии — через два века после открытия функций, интегрирования и дифференцирования. Неужто до того никто не подозревал, что числа могут выстраиваться в длинные ряды? Ведь разные виды комбинаций цифр были известны человечеству задолго до нашей эры благодаря вавилонским, греческим и индийским мудрецам…