25 этюдов о шифрах

Однако уже в начале 1977 г. американские специалисты по компьютерным наукам Р. Ривест, А. Шамир и Л. Адлеман придумали одну такую функцию. Система на основе этой функции оказалась очень практичной и получила широкое распространение под названием «система RSA» по первым английским буквам фамилий авторов.

Опишем систему RSA. При этом мы будем использовать без подробных пояснений обозначения и результаты этюдов 3.2 и 3.3. Пусть n=pq, где p и q — большие простые числа, а e — некоторое число, взаимно простое с φ(n). Найдем число d из уравнения: d∙e=1(modφ(n)).

Числа p, q и d будем считать секретными и обозначим секрет K={p, q, d}. Числа n и e будем считать общедоступными. Множества открытых сообщений X и шифрованных сообщений Y будем считать равными: X = Y = {1, 2, ... , n−1}.

Функцию F_K : X → Y определим равенством: F_K(

x) = x^e(modn).

Свойство а) односторонней функции с секретом выполнено для F_K очевидным образом. Проверим свойство в). Для этого просто укажем, как при известном K инвертировать функцию F_K: решением уравнения F_K(x) = y будет x = y^d(modn). Подробное доказательство этого факта оставляем читателю, приведем лишь необходимые выкладки без комментариев:

d∙e = φ(n)∙m + 1

(x^e)^d(modn) = x^φ(n)∙m+1(modn) = (x^φ(n))^m

∙x(modn) = (1)^m∙x(modn) = x.

Свойство б) для функции F_K строго не доказано. Пока общепризнано, что для инвертирования F_K необходимо разложить n на множители, а, как указывалось в этюде 3.4, задача факторизации целых чисел относится к трудным математическим задачам.

Таким образом, описанную функцию F_K можно считать кандидатом на звание односторонней функции с секретом. Система RSA строится с помощью этой функции так, как рассказано в этюде 3.2.

В газете «Известия» за 29 апреля 1994 г. под заголовком «Сверхсекретный шифр разгадан за 17 лет» появилось следующее сообщение: «Когда в 1977 году математики Рональд Ривест, Ади Шамир и Леонард Адлеман зашифровали фразу из нескольких слов, используя комбинацию из 129 цифр, они утверждали, что на разгадку понадобятся триллионы лет. Однако ключ к самому сложному в мире шифру «РСА-129» (RSA) был найден за 17 лет... Разгадка шифра за такой относительно короткий срок имеет огромное значение для государственных организаций и предпринимателей, которые пользуются аналогичными длинными цифровыми кодами для защиты секретных сведений в своих компьютерных базах данных...» Пока это сообщение не подтверждено научными публикациями, ясно лишь, что речь идет о том, что удалось разложить на множители то 129-значное число, которое было использовано в 1977 году. Но уже давно в реальных системах RSA используются более длинные числа.

Подумайте сами:

1. Разберите примеры работы системы RSA, приведённые на стр. 241–243 книги М. Гарднера «От мозаик Пенроуза к надёжным шрифтам».

3.6. Открытое распределение ключей

Кроме принципа построения криптосистемы с открытым ключом, Диффи и Хеллмэн в той же работе предложили еще одну новую идею — открытое распределение ключей. Они задались вопросом: можно ли организовать такую процедуру взаимодействия абонентов A и B по открытым каналам связи, чтобы решить следующие задачи:

1) вначале у A и B нет никакой общей секретной информации, но в конце процедуры такая общая секретная информация (общий ключ) у A и B появляется, т.е. вырабатывается;

2) противник, который перехватывает все передачи информации и знает, что хотят получить A и B, тем не менее не может восстановить выработанный общий ключ A и B.

Диффи и Хеллмэн предложили решать эти задачи с помощью функции F(x) = α^x(modp), где p — большое простое число,

x — произвольное натуральное число, α — некоторый примитивный элемент поля GF(p).

Примитивным называется такой элемент a из GF(p), что каждый элемент поля, за исключением нуля, может быть представлен в виде степени a. Можно доказать, хотя это и не просто, что примитивный элемент всегда существует.

Общепризнано, что инвертирование функции α^x(modp), т.е. дискретное логарифмирование, является трудной математической задачей (см. этюд 3.4).

Сама процедура или, как принято говорить, протокол выработки общего ключа описывается следующим образом.

Числа p и α считаются общедоступными.

Абоненты A и B независимо друг от друга случайно выбирают по одному натуральному числу — скажем x(A) и x(B). Эти элементы они держат в секрете. Далее каждый из них вычисляет новый элемент:

y(A)=α^x(A)(modp), y(B)=α^x(B)(modp).

Потом они обмениваются этими элементами по каналу связи. Теперь абонент A

, получив y(B) и зная свой секретный элемент x(A), вычисляет новый элемент

y(B)^x(A)(modp)=(α^x(B))^x(A)(modp).

Аналогично поступает абонент B:

y(A)^x(B)(modp)=(α^x(A))^x(B)(modp).

Из свойств поля следует, что тем самым у A и B появился общий элемент поля, равный α^x(A)x(B). Этот элемент и объявляется общим ключом A и B.