4a. Кинетика. Теплота. Звук

будет общим решением для любой струны. Но нам, помимо этого, нужно еще удовлетворить условию неподвижности одного конца. Если в уравнении (49.1) мы положим х=0 и посмотрим, какие будут у в любой момент t, то получим y=F(-ct)+G(+ct). Но эта сумма должна быть нулем в любой момент времени, а это означает, что функция G(+ct) должна быть равна -F(-ct). Другими словами, функция G от некоторой величины должна быть равна функ­ции -F от той же величины со знаком минус. Подставляя снова полученный результат в уравнение (49.1), находим ре­шение поставленной задачи:

y=F(x-ct)-F(-x-ct). (49.2)

Ясно, что это выражение всегда даст y=0, если х поло­жить равным нулю.

На фиг. 49.1 представлена волна, идущая в отрицательном x-направлении вблизи точки х=0, и гипотетическая волна, идущая в противоположном направлении с обратным знаком и с другой стороны от начала координат.

Фиг. 49.1. Отражение от стенки как суперпозиция двух бегущих волн.

Я сказал «гипотетиче­ская», потому что с другой стороны, конечно, никакой колеб­лющейся струны нет. Истинное же движение струны должно рассматриваться как сумма этих двух волн в области положи­тельных х. Достигнув начала координат, они в точке х=0 полностью уничтожат друг друга, а затем вторая (отраженная) волна, идущая, разумеется, в противоположном направлении, окажется единственной волной в области положительных х. Эти результаты эквивалентны следующему утверждению: волна, достигнув защемленного конца струны, отражается от него с изменением знака. Такое отражение всегда можно понять, если представить себе, как нечто дошедшее до конца струны вылетит затем из-за стены «вверх ногами». Короче говоря, если мы предположим, что струна бесконечна и что, где бы ни находилась волна, бегущая в одном направлении, всегда существует симметричная ей относительно точки х=0 другая волна, бегущая в противоположном направлении, то в самой точке х=0 никакого перемещения не будет, а поэтому безразлично, защемлена ли струна в этом месте или нет.

Следующий наш пример — отражение периодической вол­ны. Предположим, что волна, описываемая функцией F(x-ct), представляет собой синусоидальную волну, которая затем от­ражается. Тогда отраженная волна -F(-х-ct) тоже будет синусоидальной волной той же частоты, но пойдет она в про­тивоположном направлении. Эту ситуацию проще всего опи­сать с помощью комплексных функций

F(x-ct)=e^iw(t-

^x/c) и F(-х-ct)=e^iwa(t+x/

^c).

Нетрудно убедиться, что если подставить их в выражение (49.2) и положить х=0, то в любой момент времени t переме­щение будет равно нулю и, следовательно, необходимое условие окажется выполненным. Воспользовавшись теперь свойством экспоненты, можно записать результат в более простом виде:

y=e^iwt(e^-iwx/c-eⁱ

^wx/c)=-2ie^iwtsin(wx/c). (49.3)

Мы получили нечто новое и интересное. Из этого решения ясно, что если мы посмотрим на любую точку х нашей струны, то увидим, что она осциллирует с частотой w. Совершенно неважно, где находится эта точка, все равно частота будет той же самой! Однако на струне есть такие места (где sin (wx/c)=0), которые вообще не перемещаются. Более того, если в любой момент времени t сделать моментальный снимок колеблющейся струны, то на фотографии получится синусоидальная волна, но величина ее амплитуды будет зависеть от времени t. Из выражения (49.3) можно видеть, что длина одного цикла сину­соидальной волны равна длине какой-либо из волн;

l=2pc/w. (49.4)

Неподвижные точки удовлетворяют условию sin(wx/c)=0, которое означает, что wx/c=0, p, 2p, ..., np, ... . Эти точки на­зываются узлами. Каждая точка между двумя соседними узлами движется синусоидально вверх и вниз, но способ ее движения остается фиксированным в пространстве. Это основная харак­теристика того, что называется собственным колебанием, гармоникой или модой. Если движение обладает тем свой­ством, что каждая точка предмета движется строго синусои­дально и все точки движутся с одинаковой частотой (хотя одни, может быть, больше, а другие меньше), то мы имеем дело с собственным колебанием.

§ 2. Волны в ограниченном пространстве и собственные частоты