4a. Кинетика. Теплота. Звук

т. е. р_mр_m=m². Это величайший результат четырехмерья, о котором мы уже говорили много раз, устанавливающий связь между энергией и импульсом в классической теории. Теперь же, поскольку мы собираемся заменить E и p на w и k помощью подстановки Е=hwи p=hk, он означает, что в квантовой меха­нике должна существовать связь

Таким образом, возникло соотношение между частотой и вол­новым числом квантовомеханической амплитуды, описывающей частицу с массой m. Из этого уравнения можно получить

т. е. фазовая скорость w/k; снова больше скорости света!

Рассмотрим теперь групповую скорость. Она должна быть равна скорости, с которой движется модуляция, т. е. dw/dk.

Чтобы найти ее, нужно продифференцировать квадратный корень; это дело нехитрое. Производная равна

Но входящий сюда квадратный корень есть попросту w/с, так что эту формулу можно записать в виде dw/dk=е²k/w. Далее, так как k/w равно р/Е,

то

Но, согласно (48.20) и (48.21), с²р/Е равно v — скорости ча­стицы в классической механике. Таким образом видно, что, принимая во внимание основные квантовомеханические соот­ношения E=hwи p=hk, определяющие w и k через классиче­ские величины Е и р и дающие только уравнение w²-k²c²= =m²с⁴/h², теперь можно понять также соотношения (48.20) и (48.21), связывающие Е и р соскоростью. Групповая скорость, разумеется, должна быть скоростью частиц, если эта интер­претация вообще имеет какой-либо смысл. Пусть в какой-то момент, как мы полагаем, частица находится в одном месте, а затем; скажем через 10 минут,— в другом. Тогда, согласно кван­товой механике, расстояние, пройденное «колоколом», разде­ленное на интервал времени, должно равняться классической скорости частицы.

§ 6. Волны в пространстве трех измерений

Мы заканчиваем наше обсуждение волн несколькими об­щими замечаниями о волновом уравнении. Эти замечания, при­званные дать нам картину того, чем нам предстоит заниматься в будущем, вовсе не претендуют на то, чтобы вы поняли их сразу; они должны скорее показать, как будут выглядеть все эти вещи, когда вы несколько больше познакомитесь с волна­ми. Мы уже записали уравнение для распространения звука в одном измерении:

здесь с — скорость того, что мы назвали волнами. Если речь идет о звуке, то это скорость звука, если о свете — то это ско­рость света. Мы показали, что для звуковой волны перемещения частиц должны распространяться с некоторой скоростью. Но из­быточное давление, как и избыточная плотность, тоже распро­страняется с некоторой скоростью. Таким образом, можно ожидать, что и давление будет удовлетворять этому же уравнению.

Так оно и есть на самом деле, однако докажите это самостоя­тельно. Указание: r_u

пропорционально скорости изменения c с расстоянием х. Следовательно, продифференцировав волновое уравнение по х, мы немедленно обнаружим, что дc/дх удовлет­воряет тому же самому уравнению. Другими словами, r_u удов­летворяет тому же самому уравнению. Но Р_uпропорционально r_u, поэтому и Р_uудовлетворяет тому же самому уравнению. Та­ким образом, и давление, и перемещение — все описывается одним и тем же уравнением.

Обычно волновое уравнение для звука записывается через давление, а не через перемещение. Это проще, потому что давление — скаляр и не имеет никакого направления. Но перемещение есть вектор, и поэтому лучше иметь дело с дав­лением.

Следующий вопрос, который нам предстоит обсудить, отно­сится к волновому уравнению в трехмерном пространстве. Мы знаем, что звуковая волна в одномерном пространстве описы­вается решением ехр[i(wt-kx)], где w=kc_S. Кроме того, нам из­вестно, что в трех измерениях волна описывается выражением exp[i(wt-k_xx-k_yy-k_zz)], и в этом случае w²=k²

с_S² [сокращен­ная запись (k²_x+k²_y+k²_z)c²_S]. Сейчас мы хотим просто угадать вид волнового уравнения в трехмерном пространстве. Естествен­но, что в случае звука это уравнение можно получить с помощью тех же самых динамических соображений, но уже в трехмерном пространстве. Однако мы не будем сейчас делать этого, а просто напишем ответ: уравнение для давления или перемещения (или чего-то другого) имеет вид

правильность этого уравнения может быть легко проверена подстановкой в него функции exp[i(wt-k·r)]. Ясно, что при каждом дифференцировании по х происходит умножение на -ik_x. Если мы дифференцируем дважды, то это эквивалентно умножению на -k²_x, так что для такой волны первый член получится равным -k²_xP

_u. Точно таким же образом второй член окажется равным -k²_уР_u, а третий — равным -k²_zP_u. С правой же стороны мы получим -w²/c²_SР_u. Если мы вынесем 1 за скобку Р_ии изменим знаки всех членов, то увидим, что между k и w как раз получится желаемое соотношение.

Возвращаясь назад, мы должны прийти к основному урав­нению, соответствующему дисперсионному соотношению (48.22) для квантовомеханической волны. Если j — амплитуда нахождения частицы в момент t в точке с координатами х, у и z, то основное уравнение квантовой механики для свободной частицы имеет вид