А ну-ка, догадайся!

Она изображена на рисунке Мориса Эшера «Бельведер». И невозможная лестница, и невозможный предмет с двумя или тремя зубьями, и сумасшедшая клеть показывают, как легко мы «попадаемся на удочку», считая изображенный на рисунке объект подлинным, хотя в действительности он логически противоречив и, следовательно, не может существовать. Невозможные объекты — своего рода визуальные аналоги таких неразрешимых утверждений, как «Это утверждение ложно», о которых говорилось в главе 1.

Другие примеры невозможных объектов приведены в главе, посвященной оптическим иллюзиям, моей книги «Математический цирк» и в книгах японского художника-графика Митсумасы Анно «Алфавит Анно» и «Неповторимый мир Анно».

Патологическая кривая

_{Эта извилистая ломаная, напоминающая по форме контур снежинки, не принадлежит к числу невозможных объектов, хотя и парадоксальна. Ее построение мы начнем с контура этой новогодней елки — равностороннего треугольника.}

_{Разделив каждую сторону на 3 равные части, построим на каждой средней части равносторонний треугольник, лежащий снаружи от большого треугольника.}

_{С каждым из меньших треугольников проделаем ту же операцию: разделим их. стороны на 3 равные части и на средних частях построим равносторонние треугольники.}

_{Длина ломаной при этом еще больше возрастет, а сама ломаная станет похожа на шестиугольную снежинку.}

_{С каждым разом ломаная будет становиться все длиннее и красивее.}

_{Продолжая построение, мы можем сделать ломаную сколь угодно длинной. Она может умещаться на почтовой марке и все же быть длиннее, чем расстояние от Земли до самой далекой звезды!}

Кривая-снежинка — один из красивейших представителей бесконечного множества кривых, названных патологическими из-за своих парадоксальных свойств. При неограниченном увеличении числа звеньев длина ломаных в пределе стремится к бесконечности, хотя площадь заключенного внутри ломаных участка плоскости остается конечной. Иначе говоря, если после очередного увеличения числа звеньев ломаной мы станем измерять ее длину и площадь ограничиваемого ею многоугольника, то последовательность длин окажется расходящейся, а последовательность площадей — сходящейся к пределу, равному 8/5 от площади исходного равностороннего треугольника. К предельной кривой ни в одной точке невозможно провести касательную.

Кривая-снежинка — великолепный повод для того, чтобы освежить в вашей памяти все связанное с понятием предела. Можете ли вы доказать, что если площадь исходного равностороннего треугольника принять за единицу, то площадь части плоскости, заключенной внутри предельной кривой, равна 8/5?

Вот несколько задач на построение, тесно связанных с кривой-снежинкой.

1. Постройте кривую-антиснежинку: вычерчивая равносторонние треугольники, пристраивайте их не снаружи, а изнутри, после чего стирайте их основания. На первом этапе вы получите 3 ромба, соединенные в центре наподобие пропеллера. Имеет ли возникающая в пределе кривая-антиснежинка бесконечную длину? Конечна ли площадь ограничиваемой ею части плоскости?

2. Что произойдет, если за исходную фигуру принять не равносторонний треугольник, а какой-нибудь другой правильный многоугольник?

3. Что произойдет, если на каждой стороне строить по нескольку многоугольников?

4. Существуют ли трехмерные аналоги кривой снежинки и ее ближайших сородичей? Например, если на гранях тетраэдров строить тетраэдры, будет ли предельное тело иметь поверхность бесконечной площади? Будет ли его объем конечным?

В статье о патологических кривых, опубликованной в декабрьском номере журнала Scientific American за 1976 г., я рассказал о парадоксальной кривой, открытой Уильямом Госпером и названной «кривой дракона». Другая замечательная кривая, открытая Бенуа Мандельбротом, украшает обложку апрельского номера того же журнала за 1978 г. Ей посвящена моя статья, опубликованная в этом номере журнала.

О других патологических кривых, тесно связанных с кривой-снежинкой, рассказывается и в книге Мандельброта «Фрактальная геометрия природы».

Неизведанная Вселенная