А ну-ка, догадайся!

_{М-с Клейн. Представьте себе, что у вас есть двойник, который начинает спускаться в тот самый момент, когда вы начинаете восхождение. Независимо от того, с какой бы скоростью ни проходил он отдельные участки маршрута, вы все равно с ним встретитесь.}

_{М-с Клейн. Мы не можем сказать заранее, где именно произойдет встреча, но в том, что она непременно произойдет, нет никаких сомнений. Следовательно, какую-то точку маршрута вы вчера и сегодня миновали в одно и то же время.}

Поскольку Пат затратил на подъем и спуск одна и то же время, каждой точке маршрута мы можем сопоставить 2 числа, показывающие, когда Пат миновал ее по пути на вершину и при спуске. Между этими числами существует взаимно-однозначное соответствие, и по крайней мере два числа совпадают. Историю о Пате можно рассматривать как очень простой пример того, что топологи называют теоремой о неподвижной точке. Она принадлежит к числу так называемых чистых теорем существования, то есть лишь утверждает, что по крайней мере одна неподвижная точка существует, умалчивая о том, каким образом эту точку можно найти. Теоремы о неподвижной точке играют важную роль в приложениях топологии к другим областям математики и к естественным наукам.

Суть знаменитой теоремы о неподвижной точке можно продемонстрировать, взяв пустую коробку и лист бумаги, точно покрывающий ее дно. Пусть каждой точке на листе бумаги соответствует та точка на дне коробки, которая под ней находится. Вынув затем лист из коробки и скатав его в шарик, бросим его обратно в коробку. Топологи доказали, что независимо от того, как именно смят лист бумаги и в какое место на дне коробки попал скатанный из него бумажный шарик, по крайней мере одна точка на листе непременно окажется над соответствующей ей точкой на дне коробки! (См. раздел «Теорема о неподвижной точке» в главе 5 («Топология») книги Р. Куранта, Г. Роббинса «Что такое математика?»[16])

Теорема о неподвижной точке, впервые доказанная голландским математиком Брауэром в 1912 г., имеет много необычных приложений. Например, она позволяет утверждать, что в любой момент времени на земном шаре существует такое место, где скорость ветра равна нулю. Другое, не менее удивительное следствие из той же теоремы: на земном шаре всегда существуют по крайней мере две точки-антипода (лежащие на противоположных концах одного диаметра Земли), в которых температура и барометрическое давление совпадают. Аналогичная теорема позволяет доказать, что шар, поросший волосами, невозможно причесать гладко: по крайней мере один волос всегда останется торчать. (В отличие от шара волосатый тор можно причесать гладко.) Хорошим введением в теоремы такого рода может служить статья Марвина Шинброта «Теоремы о неподвижной точке» (Scientific American, январь 1966).

Невозможные объекты

_{Еще больше, чем точка, проходимая при подъеме и спуске в одно и то же время, Пата удивила эта лестница. По ней можно идти нескончаемо долго только вверх (или только вниз) и при этом возвращаться на исходное место.}

_{Сколько зубцов на этом грозном оружии: два или три?}

_{Не могли бы вы сбить из дощечек эту «сумасшедшую» клеть?}

Лестница, х-зубец (х = 2 или х = 3) и клеть принадлежат к числу так называемых «невозможных объектов», или «неразрешимых фигур». Невозможную лестницу придумали английский генетик Лайонел С. Пенроуз и его сын математик Роджер Пенроуз, который впервые опубликовал ее в 1958 г. Ее нередко называют лестницей Пенроуза. Она поразила воображение голландского художника М. К. Эшера, который использовал ее в одной из своих литографий «Подъем и спуск».

Автор х-зубца с двумя или тремя зубьями неизвестен. Этот невозможный объект встречается примерно с 1964 г. На обложке мартовского номера журнала Mad за 1965 г. изображен Альфред Э. Нейман, балансирующий таким х-зубцом на указательном пальце.

Автор сумасшедшей клети также неизвестен.