Читаем А ну-ка, догадайся! полностью

Девушка, жившая к востоку от того места, где обитал наш сердцеед, сказала ему как-то раз на прощание.

Вести. Я так счастлива, милый, что ты навещаешь меня в среднем 9 дней из 10.



На следующий вечер девушка, жившая к западу от дома нашего героя, сердито упрекнула его.

Вести. Почему ты являешься ко мне в среднем только раз в десять дней?



Необъяснимое на первый взгляд предпочтение парня к поездам восточного направления напоминает парадокс с лифтами. Хотя поезда восточного и западного направлений идут с интервалами в 10 мин, расписание составлено так, что поезд западного направления прибывает и отправляется на 1 мин позже, чем ближайший поезд восточного направления.



Чтобы попасть на поезд, идущий на запад, парень должен ел на станции в течение одного из минутных интервалов, отмеченных на циферблате темными полосами.

Чтобы попасть на поезд, идущий на восток, он должен прибыть на станцию в течение любого из девятиминутных интервалов, заключенных между темными полосами.

Вероятность поехать на запад составляет 1/10, вероятность отправиться на восток составляет 9/10.


В этом парадоксе время ожидания между поездами задано расписанием. В последовательности случайных событий «среднее время ожидания» между событиями мы получим, просуммировав времена ожидания и разделив полученную сумму на n. Например, среднее время ожидания для поезда, идущего на восток, в нашем рассказе составляет 41/2 мин, а среднее время ожидания для поезда, идущего на запад, — всего 1/2 мин.

С временами ожидания связаны и многие другие парадоксы. Возможно, вам понравится следующий.

Если вы бросаете монету, то среднее время ожидания «орла» (или «решки») равно 2 бросаниям. Это означает, что, взяв перечень исходов длинной серии бросаний монеты и подсчитав времена ожидания, отделяющие выпадение одного «орла» от выпадения следующего «орла», вы получите среднее «расстояние» между «орлами», равное 2 бросаниям (если серия начинается не с «орла», то длина серии «решек» до выпадения первого «орла» в расчет не принимается).

Предположим, что на длинном листе бумаги сверху вниз выписаны исходы длинной серии бросаний монеты. Выберите наугад зазор между двумя последовательными бросаниями (например, зажмурьте глаза и проведите по листу горизонтальную черту). Найдите ближайший к проведенной черте «орел» сверху и снизу и подсчитайте число испытаний, отделяющих один «орел» от другого. Повторите эту операцию многократно. Чему будет равно среднее расстояние между «орлами»?

Интуитивно кажется, что «орлы» должны быть в среднем разделены двумя бросаниями. В действительности в среднем их разделяют три бросания.

Причина та же, по которой любвеобильный парень обычно садился в поезд, идущий на восток. Одни серии испытаний между последовательными «орлами» короткие, другие — длинные. Случайно проведенная линия аналогична случайному выбору момента прибытия парня на станцию. Попасть в более длинную серию вероятнее, чем в более короткую.

Приведем теперь простое доказательство того, что три испытания — действительно правильный ответ на вопрос задачи. Монеты «не помнят» исходов предыдущих бросаний, поэтому, где бы вы ни провели черту, среднее время ожидания до выпадения следующего «орла» должно быть равно 2 бросаниям. То же соображение применимо и к среднему времени ожидания, если мы «обратим» всю серию испытаний и будем считать времена ожидания не вперед, а назад. Следовательно, «средняя длина свободного пробега» между «орлами» равна 2х2, то есть 4, если мы будем считать и те бросания, при которых выпали сами «орлы». А так как мы условились понимать под временем ожидания длину серии испытаний, включающую выпадение следующего «орла», но не включающую выпадение предыдущего «орла», то средняя длина свободного пробега равна 4–1 = 3 бросаниям.

Перейти на страницу:

Все книги серии Математическая мозаика

Как же называется эта книга?
Как же называется эта книга?

Книга американского профессора Р. Смаллиана, написанная в увлекательной форме, продолжает серию книг по занимательной математике и представляет собой популярное введение в некоторые проблемы математической логики. Сюда входят более 200 новых головоломок, созданных необычайно изобретательным автором. Задачи перемежаются математическими шутками, анекдотами из повседневной жизни и неожиданными парадоксами. Завершает книгу замечательная серия беллетризованных задач, которые вводят читателя в самую суть теоремы Курта Гёделя о неполноте, — одного из замечательнейших результатов математической логики 20 века.Можно сказать — вероятно, самый увлекательный сборник задач по логике. Около трехсот задач различной сложности сгруппированы по разделам, герои которых Рыцари и Лжецы, Алиса в Стране Чудес, Беллини и Челлини и даже сам граф Дракула! Если человек произносит «Я лгу» — говорит ли он неправду? Почему физики и математики по-разному решают задачи? Как вовремя распознать упыря? Ответы на эти и более серьезные вопросы Вы найдете в этом сборнике, а может быть, и ответ на вопрос «Как же называется эта книга?». Для всех, кто хочет научиться рассуждать.

Рэймонд Меррилл Смаллиан

Научная литература

Похожие книги

Для юных физиков
Для юных физиков

Вашему вниманию предлагается вторая книга из составленной нами серии некогда широко известных произведений популяризатора науки и педагога Перельмана Я. И. Первой в серии стала книга «Для юных математиков. Веселые задачи».Работа «Для юных физиков. Опыты и развлечения» предназначена совсем юным исследователям природы. По словам Перельмана Я. И., «…то, что может почерпнуть из нее читатель – еще не физика, а только преддверие к ней».Книга, которую Вы держите в руках, поможет расширить кругозор ребенка, позволит обогатиться новыми знаниями о природе и пробудит умение творчески мыслить. Здесь представлены легкие для выполнения опыты, которые можно проделать с окружающими нас предметами. Забавные истории, увлекательные задачи, парадоксальные сопоставления помогут привить интерес к познанию окружающего мира.Материал написан в жанре занимательной науки, содержит кладезь полезных теоретических и практических знаний и предназначена для учащихся средней школы и их родителей, для учителей и всех тех, кто сохранил в себе способность удивляться окружающему нас миру.В книге представлены еще две работы автора: «Не верь своим глазам!» и «Развлечение со спичками».

Яков Исидорович Перельман

Развлечения / Детская образовательная литература / Физика / Книги Для Детей / Дом и досуг