А ну-ка, догадайся!

Вычислить прибыль, которую приносит игорному дому игра «Чак-э-лак», по формулам — дело довольно хитрое. Проще всего составить полный список всех 216 возможных исходов бросания 3 игральных костей и убедиться, что в 120 случаях на трех костях выпадает 134 различное число очков, в 90 случаях одно и то же число выпадает на двух костях и в 6 случаях — на трех костях. Предположим, что игорный дом провел серию из 216 партий в «Чак-э-лак», причем во всех 216 случаях исходы бросания трех костей были различными. В каждой партии 6 людей поставили по 1 доллару на каждое из 6 чисел. Следовательно, банкомет собрал ставок на общую сумму 210х6 = 1296 долларов. В тех случаях, когда на всех трех костях выпало различное число очков, он выплатил 120х6 = 720 долларов. В тех случаях, когда на двух костях выпало по одинаковому числу очков, банкомет выплатил 90х2 = 180 долларов тем, кто угадал число очков на третьей кости (неповторяющееся), и 90х3 = 270 долларов тем, кто угадал число очков, выпавшее на двух костях. Наконец, в тех случаях, когда одно и то же число очков выпало на трех костях, банкомет выплатил 6х4 = 24 доллара. Таким образом, всего банкомет выплатил 1194 доллара.

Прибыль игорного дома составила 102 доллара, или 102/1296 = 1,078…, то есть более 7,8 %. Это означает, что в длинной серии игр в среднем игрок теряет около 7,8 цента на каждый поставленный им доллар.

А каковы шансы на выигрыш при одном бросании?

Если кости выкрашены в различные цвета, например одна в красный, другая в зеленый, а третья в синий цвета, то 1 очко на красной кости при любом числе очков на двух остальных костях может выпасть 36 различными способами. В 30 случаях число очков на красной кости отлично от 1, на зеленой кости равно 1, на синей кости — любое. Наконец, в 25 случаях число очков на красной и на зеленой костях отлично от 1, а на синей равно 1. Следовательно, в 91 случае из 216 по крайней мере на одной кости выпадает 1 очко. Следовательно, вероятность выиграть, поставив на 1 очко, составляет 91/216, то есть значительно меньше 1/2. То же самое справедливо и относительно любого другого числа очков.

Удивительные попугаи

_{У одной дамы было два попугая. Однажды гость спросил ее:}

_{Гость. Один из попугаев самец?}

_{Хозяйка.}

Да.

_{Какова вероятность того, что оба попугая самцы? Эта вероятность равна 1/3.}

_{Предположим, что гость спросил даму, указывая на клетку с темным попугаем:}

_{Гость Это самец?}

_{Хозяйка. Да}

_{На этот раз вероятность того, что оба попугая самцы повышается до 1/2. Странно! Почему вопрос, заданный о птице с темным оперением, так сильно сказывается на вероятности?}

_{Парадокс легко решается, если выписать все возможные случаи.}

_{Если гость знает, что один из попугаев самец, то возможны три случая. Только в одном из них оба попугая самцы Следовательно, вероятность того, что оба попугая самцы, составляет 1/3. (Мы предполагаем, что в каждой клетке с равной вероятностью может оказаться как самец, так и самка.)}

_{Но если гость знает, что темный попугай самец, то возможны лишь 2 случая. Только в одном из них оба попугая самцы. Следовательно, вероятность того, что оба попугая самцы, составляет 1/2.}

Задачу с попугаями можно промоделировать, попросив кого-нибудь бросить 2 монеты различного достоинства и высказать некоторые утверждения относительно исходов бросаний. Бросающий может избрать одну из нескольких процедур.

1. Если выпадут два «орла», заявить: „По крайней мере одна монета выпала вверх «орлом»". Если выпадут две «решки», заявить: „По крайней мере одна монета выпала вверх «решкой»". Если одна монета выпадет вверх «орлом», а другая — вверх «решкой», заявите «По крайней мере одна монета выпала вверх…» и дальше по своему усмотрению сказать либо «орлом», либо «решкой». Какова вероятность, что обе монеты выпали вверх той стороной, которую назвал бросающий?

Ответ: 1/2.