Апология математики, или О математике как части духовной культуры

Изложенная только что тема содержит в себе три подтемы: прямой угол, треугольник и равенство 32 + 42 = 52. В каждой из этих подтем можно усмотреть некие элементы, относящиеся к тому, чтбо автор этих строк понимает под общечеловеческой культурой. Приведём примеры таких элементов.

Сперва о понятии прямого угла. Это понятие может быть использовано для интеллектуального обогащения. Поставим такую задачу: объяснить, какой угол называется прямым, но объяснить не на визуальных примерах, а вербально - например, по телефону. Вот решение. Надо попросить собеседника мысленно взять две жерди, соединить их крест-накрест и заметить, что в точке соединения сходятся четыре угла; если все эти углы окажутся равными друг другу, то каждый из них и называют прямым. Какая же тут духовная культура, если речь идёт о жердях! - возмутится критически настроенный читатель. Но суть здесь, конечно же, не в жердях, а в опыте вербального определения одних понятий через другие. Такой опыт поучителен и полезен, а возможно, что и необходим. Математика вообще представляет собою удобный полигон для оттачивания искусства объяснения. Адресата объяснений следует при этом представлять себе тем внимающим афинскому софисту любопытным скифом, о котором писал Пушкин в послании «К вельможе». Объяснение признаётся успешным, если есть ощущение, что любопытный скиф его поймёт.

Теперь - пример из жизни треугольников. Речь пойдёт о триангуляции. Триангуляция - это сеть примыкающих друг к другу, наподобие паркетин, треугольников различной формы; при этом существенно, что примыкание происходит целыми сторонами, так что вершина одного треугольника не может лежать внутри стороны другого. Триангуляции сыграли важнейшую роль в определении расстояний на земной поверхности, а тем самым и в определении фигуры Земли.

Потребность в измерении больших, в сотни километров, расстояний - как по суше, так и по морю - появилась ещё в древние времена. Капитаны судов, как известно из детских книг, меряют расстояния числом выкуренных трубок. Близок к этому метод, применявшийся во II веке до н. э. знаменитым древнегреческим философом, математиком и астрономом Посидонием, учителем Цицерона: морские расстояния Посидоний измерял длительностью плавания (с учётом, разумеется, скорости судна). Но ещё раньше, в III веке до н. э., другой знаменитый древний грек, заведующий Александрийской библиотекой математик и астроном Эратосфен, измерял сухопутные расстояния по скорости и времени движения торговых караванов. Можно предполагать, что именно так Эратосфен измерил расстояние между Александрией и Сиеной, которая сейчас называется Асуаном (если смотреть по современной карте, получается примерно 850 км). Это расстояние было для него чрезвычайно важным. Дело в том, что Эратосфен считал эти два египетских города лежащими на одном и том же меридиане; хотя это в действительности не совсем так, но близко к истине. Найденное расстояние он принял за длину дуги меридиана. Соединив эту длину с наблюдением полуденных высот Солнца над горизонтом в Александрии и Сиене, он, далее, путём изящных геометрических рассуждений, вычислил длину всего меридиана, а тем самым и величину радиуса земного шара.

Ещё в XVI веке расстояние (примерно стокилометровое) между Парижем и Амьеном определялось при помощи счёта оборотов колеса экипажа. Очевидна приблизительность результатов подобных измерений. Но уже в следующем столетии голландский математик, оптик и астроном Снеллиус изобрёл излагаемый ниже метод триангуляции и с его помощью в течение 1615 - 1617 годов измерил дугу меридиана, имеющую угловой размер в один градус и одиннадцать с половиной минут.