Апология математики (сборник статей)

§ 4. Косвенные доказательства существования. принцип дирихле

Самый естественный способ доказать, что объект с заданными свойствами действительно существует, – это его указать, назвать, построить (и, разумеется, убедиться, что он действительно обладает нужными свойствами). Чтобы доказать, например, что данное уравнение имеет решение, достаточно указать какое-то его решение. Такие доказательства существования чего-нибудь называются прямыми, или конструктивными. Прямыми будут, например, приводимые в примерах 17 и 18 доказательства существования несоизмеримых отрезков, поскольку такая пара отрезков будет там указана.

Но бывают и косвенные доказательства, когда обоснование того факта, что искомый объект существует, происходит без прямого указания такого объекта.

Пример 6. В некоторой шахматной партии противники согласились на ничью после 15-го хода белых. Доказать, что какая-то из чёрных фигур ни разу не передвигалась с одного поля доски на другое. (Термин «фигура» понимается здесь в широком смысле, включающем и пешки.)

Рассуждаем так. Передвижения чёрных фигур по доске происходят лишь при ходах чёрных. Если такой ход не есть рокировка, передвигается одна фигура; если же ход есть рокировка, передвигаются две фигуры. Чёрные успели сделать 14 ходов, и лишь один из них мог быть рокировкой. Поэтому самое большое количество чёрных фигур, затронутых ходами, есть 15. А всего чёрных фигур 16. Значит, по крайней мере одна из них не участвовала ни в каком ходе чёрных. Отметим, что здесь мы не указываем такую фигуру конкретно (мы могли бы это сделать лишь в том случае, если бы наблюдали шахматную партию или располагали её записью), а лишь доказываем, что она непременно существует.

Пример 7. В самолёте летит 380 пассажиров. Доказать, что какие-то два из них отмечают свой день рождения в один и тот же день года.

Рассуждаем так. Всего имеется 366 (включая 29 февраля) возможных дат для празднования дня рождения. А пассажиров больше; значит, не может быть, чтобы у всех у них дни рождения приходились на различные даты, и непременно должно быть так, что какая-то дата является общей по крайней мере для двух человек. Ясно, что этот эффект будет обязательно наблюдаться, начиная с числа пассажиров, равного 367. А вот если это число равно 366, не исключено, что числа и месяцы их дней рождения будут для всех различны, хотя это и чрезвычайно маловероятно. (Кстати, теория вероятностей учит, что если случайно выбранная группа людей состоит более чем из 22 человек, то более вероятно, что у кого-нибудь из них дни рождения будут совпадать, нежели что у всех у них дни рождения приходятся на разные дни года.)

Логический прием, применённый нами в примере 7, носит название принцип Дирихлé – по имени знаменитого немецкого математика XIX в. Петера Густава Лежёна Дирихлé. Вот общая формулировка этого принципа: