Апология математики (сборник статей)

Продемонстрированный в третьем доказательстве примера 15 вариант метода от противного, когда возникающее противоречие состоит в появлении бесконечной последовательности убывающих натуральных чисел (чего, повторим, быть не может), называется методом бесконечного (или безграничного) спуска.

Пример 16. Вот ещё пример на метод бесконечного спуска. Выше, говоря о методе перебора, мы упомянули, что уравнение x⁴ + y⁴ = z² не имеет решений в области натуральных чисел. Стандартный способ доказательства этого факта состоит в доказательстве от противного: противоречие выводится из предположения, что существует тройка (а, b, с) натуральных чисел, являющаяся решением уравнения, т. е. такая, что a⁴ + b⁴ = c². Для получения требуемого противоречия применяют метод бесконечного спуска. Мы не будем здесь излагать, как именно осуществляется описываемое ниже построение[139], а ограничимся общей идеей. Идея же состоит в том, что указывается способ, следуя которому для каждой тройки натуральных чисел (а, b, с), служащей решением нашего уравнения, строится другая тройка натуральных чисел (а´, b´, с´), также служащая решением того же уравнения, но такая, что |с´| < |c|. Применяя этот метод, для тройки решения (а´, b´, с´) можно построить тройку-решение (а´´, b´´, с´´), а для этой последней – тройку (а´´´, b´´´, с´´´) и т. д. А тогда возникает невозможная убывающая последовательность натуральных чисел |c| > |c´| > |с´´| > |c´´´| >….

Напомним, что отрезок a называется мерой отрезка b, если a укладывается в b целое число раз. Возникает вопрос, для всяких ли двух отрезков существует их общая мера, т. е. такой отрезок, который является мерой для каждого из этих двух. Если какие-либо два отрезка имеют общую меру, то эти отрезки называются соизмеримыми, в противном же случае – несоизмеримыми. Итак, любые ли два отрезка соизмеримы? Этот вопрос имеет принципиальное значение: отношение несоизмеримых отрезков не может быть выражено рациональным числом, и потому именно явление несоизмеримости вызывает к жизни иррациональные числа. Тот факт, что несоизмеримые отрезки существуют, был известен ещё древним грекам и производил на них глубокое впечатление, а с открытием этого факта связан ряд легенд. Самым ранним примером несоизмеримых отрезков была такая пара: диагональ какого-нибудь квадрата и сторона этого же квадрата. Разумеется, попытки доказать несоизмеримость двух отрезков методом перебора были бы тщетны, ведь тогда пришлось бы перебрать все отрезки (что невозможно!) и убедиться, что никакой из них не является общей мерой рассматриваемых отрезков, в частности общей мерой стороны и диагонали одного и того же квадрата.

Все известные доказательства несоизмеримости стороны и диагонали квадрата осуществляются способом от противного. Мы приведём два доказательства – арифметическое и геометрическое. Обоим предпошлём следующее соображение. Если разрезать квадрат по диагонали, возникнут два равнобедренных прямоугольных треугольника, в каждом из которых эта диагональ будет гипотенузой, а стороны квадрата – катетами. Так что вопрос о соизмеримости или несоизмеримости стороны квадрата и его диагонали равносилен вопросу о соизмеримости или несоизмеримости катета и гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника. Несоизмеримость катета и гипотенузы мы и будем доказывать.