Апология математики (сборник статей)

Изучим наш чертёж более детально и установим три соотношения между его деталями. В прямоугольном (по построению) треугольнике CED угол ECD равен половине прямого угла, а общая сумма углов треугольника равна двум прямым; отсюда следует, что и угол CED равен половине прямого. Мы видим, что в треугольнике CED углы при его вершинах C и E равны; следовательно, этот треугольник равнобедренный с равными сторонами DE и DC:

|DE| = |DC|. (1)

Соединим точки B и E. Замечаем, что треугольники BEA и BED имеют общую сторону BE и равные стороны BA и BD; поскольку они прямоугольны, то сказанного достаточно для их равенства. Следовательно,

|EA| = |ED|. (*)

Соединяя формулы (*) и (1), получаем второе из искомых соотношений:

|AE| = |DC|. (2)

Наконец, выводим третье соотношение. Поскольку, как только что доказано, |DC| = |AE|, то |DC| = |AE| < |AC| = |AB|. Итак,

|DC| < |AC| = |AB|. (3)

Теперь уже нетрудно показать, что в качестве искомого треугольника Q´ можно взять треугольник CED. Действительно, он прямоуголен по построению и равнобедрен, как показывает соотношение (1). Его катет короче катета исходного треугольника Q = Δ ABC, как показывает соотношение (3). Осталось убедиться, что всякая общая мера гипотенузы и катета треугольника ABC служит также и общей мерой для гипотенузы и катета треугольника CED. В самом деле, пусть некоторая общая мера сторон треугольника ABC укладывается p раз в его катете и q раз – в его гипотенузе BC. Тогда она укладывается p раз в равном катету отрезке BD и q – p раз – в отрезке CD. Поскольку, согласно соотношению (2), отрезок AE равен отрезку CD, то и в AE эта общая мера укладывается q – p раз. Значит, в отрезке EC она укладывается р – (q – p) раз. Итак, эта мера укладывается целое число раз и в катете CD, и в гипотенузе EC треугольника CED, т. е. является их общей мерой.