Апология математики (сборник статей)

Строго говоря, даже универсальные законы природы формулируются лишь на основе отдельных наблюдений, т. е. на основе метода неполной индукции. Поэтому и наши практические решения (типа решения о качестве яблок или лампочек), и наши теоретические суждения (типа законов природы), если они высказаны в виде универсальных формулировок, верны не в абсолютном смысле, а в лучшем случае лишь с высокой степенью правдоподобия. Иное дело математика, истины которой признаются незыблемыми. А потому и метод неполной индукции, действующий в естественных науках, в математике не действует.

В математике нередко случается, что частная формулировка A(n) оказывается верной для отдельных значений n и вместе с тем не удаётся найти таких значений, для которых частная формулировка была бы неверна. Тогда есть основание выдвинуть гипотезу об истинности универсальной формулировки – но всего только гипотезу, ибо то, чего не удалось найти сегодня, будет, возможно, обнаружено завтра. Вот три замечательных примера, показывающих, что метод неполной индукции не работает в математике.

Пример 28. Великий французский математик XVII в. Пьер Ферма изучал числа вида 2^2ⁿ + 1, которые стали называть числами Ферма. Ферма полагал, что все они суть числа простые. Для такого мнения, казалось бы, имелись основания, ведь при n = 0, 1, 2, 3, 4 числа Ферма и в самом деле являются простыми. Однако в XVIII в. великий швейцарский (да и российский тоже) математик Леонард Эйлер обнаружил, что число 2²⁵ + 1 есть произведение двух простых чисел 641 и 6 700 417. Более того, неизвестно, существуют ли простые числа Ферма помимо вышеуказанных пяти, открытых ещё самим Ферма.

Пример 29. Трёхчлен x² + x + 41, указанный Эйлером, принимает простые значения при x = 0, 1, 2, …, 39. Однако при x = 40 его значением будет число составное, а именно 41².

Пример 30. Если брать различные значения n и разлагать двучлен xⁿ – 1 на множители с целыми коэффициентами, то можно заметить, что у каждого из многочленов сомножителей все его коэффициенты равны либо 1, либо –1. Например, x⁶ – 1 = (x – 1) (x + 1) (x² + x + 1) × (x² – x + 1). Была выдвинута гипотеза, что это обстоятельство справедливо для любого n. Однако доказать эту гипотезу почему-то не удавалось. А в 1941 г. выяснилось, что, хотя коэффициенты разложения действительно обладают указанным свойством при всех n до 104 включительно, в разложении на множители двучлена x¹⁰⁵ – 1 среди сомножителей появляется многочлен, у которого некоторые из коэффициентов равны –2.

§ 8. Алфавиты и буквы. Слова и строки. Взаимно однозначные соответствия и мощность. Диагональный метод

В математике любой конечный список знаков принято называть алфавитом. Не предполагается, что эти знаки что-нибудь означают. Иногда говорят не о знаках, а о символах, но опять-таки не предполагая, что они что-либо символизируют. (Честнее было бы говорить не о знаках или символах, а о закорючках, но это уж как-то слишком ненаучно.) Члены алфавита называются буквами.

Первый математический алфавит, который узнаёт школьник, – это алфавит десятичных цифр с буквами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. А вот алфавит римских цифр: I, V, X, L, C, D, M.

Конечная последовательность идущих друг за другом букв алфавита называется словом в этом алфавите. Например, «ъЪрйрьоь» есть слово в русском алфавите. Пример показывает, что далеко не всякое слово в русском алфавите является русским словом, т. е. словом русского языка.