Апология математики (сборник статей)

Слова также называют строками. Содержание этих терминов одинаковое, а различаются они сферами употребления: термин «слово» чаще употребляют те, кто занимается теоретическими изысканиями, тогда как термин «строка» употребителен в более прикладной среде, в частности в информатике. Мы будем использовать оба термина.

Количество букв в слове (строке) именуют его (её) длиной. Так, длина приведённого выше слова в русском алфавите есть 8.

Пример 31. Если алфавит состоит из одной буквы, то число слов длины n равно 1.

Пример 32. Доказать, что если алфавит состоит из двух букв, то число слов длины n равно 2ⁿ.

Каждое слово длины n получается приписыванием одной из двух букв алфавита к слову длины n – 1. Стало быть, при удлинении слова на одну букву количество слов удваивается. А количество слов длины 1 есть два.

В примере 32 мы начали с двух слов длины 1. А могли бы начать и с одного слова длины 0, вовсе не содержащего букв. Такое слово называется пустым и обозначается заглавной греческой буквой «лямбда» (Λ).

Рассмотрим множество {a; b; c} из трёх элементов: a, b и c. Напомним, что для того, чтобы получить имя множества, достаточно заключить в фигурные скобки список имён его элементов, разделив их имена запятой или точкой с запятой (последнее удобнее). Найдём все части, или подмножества, нашего множества. Во-первых, три одноэлементные части: {a}, {b}, {c}. Во-вторых, три двухэлементные части: {b; c}, {a; c}, {a; b}. В-третьих (поскольку всякое множество считается частью самого себя), трёхэлементную часть {a; b; c}. Наконец, пустое множество Ø, не содержащее ни одного элемента и считающееся частью любого множества. Всего частей оказалось 8.

Пример 33. Сколько частей у множества, содержащего n элементов?

Пронумеруем элементы числами от 1 до n. Каждой части отнесём строку длины n из плюсов и минусов, образованную по следующему правилу: если элемент с номером k принадлежит нашей части, на k-м месте строки ставим плюс; если же k-й элемент не принадлежит рассматриваемой части, на k-м месте строки ставим минус. Заметим, что не только каждой части множества соответствует ровно одна строка, но и каждой строке длины n, составленной из плюсов и минусов, соответствует ровно одна часть.

Мы получили то, что называется взаимно однозначным соответствием между двумя множествами – в данном случае между множеством частей и множеством строк.

В общем случае взаимно однозначным соответствием между множествами X и Y называется такое соответствие между ними, когда каждому элементу из X соответствует ровно один элемент из Y и каждый элемент из Y соответствует ровно одному элементу из X. Если между двумя множествами имеет место взаимно однозначное соответствие, то количества элементов в обоих множествах совпадают.

Собственно, количество элементов – это и есть то общее свойство, что несут в себе все те множества, между которыми можно установить взаимно однозначные соответствия. Невозможность такого соответствия между множествами X и Y означает различие количеств элементов, содержащихся в этих множествах.

Это математическое уточнение интуитивного понятия количества элементов множества, основанное на понятии взаимно однозначного соответствия, принадлежит одному из величайших математиков XIX в., создателю теории множеств, без которой немыслима современная математика, немецкому учёному Георгу Кантору. Кантор, в частности, первым обнаружил, что бесконечные множества могут содержать различные количества элементов.

В математике количество элементов множества принято называть его мощностью.

Таким образом, выражения:

1. Два множества имеют одинаковое количество элементов;

2. Два множества равноколичественны;

3. Два множества имеют одинаковую мощность;

4. Два множества равномощны;

5. Между двумя множествами можно установить взаимно однозначное соответствие