Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной

Масштабная идея Фурье лежит в основе музыкальных синтезаторов. Чтобы увидеть, почему это так, рассмотрим звучание какой-нибудь ноты, например ля первой октавы. Для создания такого звука мы можем ударить по камертону, настроенному на колебания с соответствующей частотой 440 Гц. Камертон состоит из рукояти и двух металлических зубцов. Если ударить по нему резиновым молоточком, зубцы начинают колебаться назад и вперед 440 раз каждую секунду. Эти колебания воздействуют на окружающий воздух: когда зубец двигается наружу, он сжимает воздух, а когда назад – разрежает его. В результате создается синусоидальное изменение давления в воздухе, которое наши уши воспринимают как чистый тон, скучный и бесцветный. Ему не хватает того, что музыканты называют тембром. Мы могли бы сыграть одну и ту же ноту

ля на скрипке или фортепиано, и они прозвучали бы теплее и красочнее. Несмотря на то что эти инструменты тоже издают колебания с эталонной частотой 440 Гц, они звучат не так, как камертон (и не похоже друг на друга) из-за различных обертонов (это музыкальный термин для волн наподобие sin 3x

или sin 5x в вышеприведенной формуле для треугольной волны). Обертоны придают ноте красочности, добавляя частоты, кратные основной. В дополнение к синусоиде с частотой 440 Гц синтезированная треугольная волна включает синусоидальный обертон с втрое большей частотой (3 × 440 = 1320 Гц). Этот обертон не такой мощный, как основная синусоида sin

x. Его амплитуда составляет всего 1/9 от основной, а остальные обертоны с другими нечетными числами еще слабее. На музыкальном языке эти амплитуды определяют громкость обертонов. Богатство звучания скрипки связано с определенным сочетанием более тихих и более громких обертонов.

Мощь идеи Фурье состоит в том, что звук любого

музыкального инструмента можно синтезировать с помощью бесконечного набора по-разному настроенных камертонов. Все, что для этого требуется, – ударить по ним с нужной силой и в нужное время, и – невероятно – но раздастся звук скрипки, фортепиано или даже трубы или гобоя, хотя мы использовали не более чем бесцветные синусоиды. По сути, именно так работали первые электронные синтезаторы: они воспроизводили звук любого инструмента, сочетая большое количество синусоидальных волн.

В старших классах я брал уроки электронной музыки, и это дало мне представление, на что способны синусоиды. Это было в темные времена 1970-х, когда электронную музыку создавал большой ящик, напоминавший обычный коммутатор. Мы с одноклассниками втыкали кабели в разные разъемы, поворачивали ручки и получали звуки с помощью синусоидальных, прямоугольных и треугольных волн. Насколько я помню, синусоидальные волны обладали чистым открытым звуком, как у флейты. Квадратные звучали пронзительно, как сигналы пожарной тревоги. Треугольные издавали металлический звук. С помощью одной рукоятки мы могли менять частоту волны, повышая или понижая тон. Другой можно было корректировать амплитуду, увеличивая или уменьшая громкость. Подключив сразу несколько кабелей, мы могли складывать волны и обертоны в различных сочетаниях, как это делал Фурье, но для нас этот опыт был практическим: мы слышали создаваемые нами звуки. Мы могли видеть формы волн на осциллографе одновременно с их прослушиванием. Вы можете попробовать найти соответствующие видео в интернете. Поищите нечто вроде звука треугольных волн, и найдете интерактивные демонстрации, которые позволят вам почувствовать, будто вы сидите в моем классе в 1974 году и играете с волнами ради собственного удовольствия.

Еще более значимый аспект работы Фурье состоял в том, что он сделал первый шаг к использованию анализа в качестве предсказателя того, как может двигаться и изменяться континуум частиц. Это был огромный шаг вперед по сравнению с трудами Ньютона о движении дискретного множества частиц. За последующие столетия ученые развили методы Фурье и теперь предсказывают поведение других непрерывных сред – например, флаттера на крыле Boeing 787, внешнего вида пациента после лицевой пластики, потока крови по артериям или перемещения земной поверхности после землетрясения. Сегодня эти методы используются в науке и технике повсеместно. Их применяют для изучения ударных волн при термоядерном взрыве; радиоволн для связи; волн в кишечнике, которые помогают усваивать питательные вещества и перемещать продукты жизнедеятельности в нужном направлении; патологических электрических волн в мозге, связанных с эпилепсией и болезнью Паркинсона; а также волн заторов на автострадах с раздражающим явлением фантомных пробок, когда движение замедляется без всяких видимых причин. Идеи Фурье и их различные вариации позволили объяснить все эти явления с математической точки зрения – иногда с помощью формул, иногда путем сложного компьютерного моделирования, так что мы можем объяснить и предсказать эти явления, а в некоторых случаях и управлять ими или устранить их.

Почему синусоиды?