Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной

За четыре столетия, прошедшие с тех пор, как анализ оказался на этом перекрестке, он ушел от алгебры и геометрии в сторону физики и астрономии, биологии и медицины, инженерии и технологий, то есть во все сферы, где есть нескончаемые перемены. Анализ математизировал время и вселил в нас надежду, что мир, в котором мы живем, при всех его несправедливостях, страданиях и хаосе, глубоко в своем сердце, где он следует математическим законам, может быть разумным. Иногда мы можем найти эти законы с помощью науки. Иногда можем понять их с помощью анализа. А иногда можем использовать, чтобы улучшить нашу жизнь, помочь обществу и изменить ход истории к лучшему.

Поворотный момент в истории анализа произошел в середине XVII века, когда загадки кривых, движения и изменений столкнулись на двумерной сетке – координатной плоскости Ферма и Декарта. В тот момент Ферма и Декарт понятия не имели, насколько универсальный инструмент создали. Они задумывали прямоугольную систему координат для использования в чистой математике. Но с самого начала она тоже стала своего рода перекрестком, где уравнения встречались с кривыми, алгебра – с геометрией, а математики Запада – с коллегами с Востока. Далее, уже в следующем поколении, Исаак Ньютон, опираясь на их работы и на труды Кеплера и Галилея, объединил геометрию и физику в великом синтезе. Искра Ньютона зажгла тот огонь, который дал старт эпохе Просвещения и революции в западной науке и математике.

Однако для изложения этой истории нам нужно начать с арены, где все это происходило, – координатной плоскости. Когда сегодня учащиеся начинают заниматься анализом, они проводят на ней массу времени. Название соответствующего предмета – математический анализ функций одной переменной. Мы займемся этой темой в нескольких следующих главах. Сейчас же начнем с функций.

За столетия, прошедшие с тех пор, как кривые столкнулись с движением и изменениями, важность координатной плоскости существенно увеличилась. Сегодня она применяется везде для графического представления данных и выявления скрытых закономерностей. Мы можем использовать ее, чтобы увидеть, как одна переменная зависит от другой, как соотносятся x и y, когда все остальное постоянно. Такие отношения моделируются с помощью функций одной переменной. Символически это записывается как y =

f(x), что читается «y равно f от x». Здесь f обозначает функцию, описывающую, как переменная y

(называемая зависимой переменной) зависит от переменной x (независимой переменной), если предполагается, что все остальное зафиксировано и неизменно. Такие функции моделируют, как ведет себя мир в самом чистом виде. Причина вызывает прогнозируемый результат. Доза вызывает прогнозируемый эффект. Говоря формально, функция f – это правило, по которому каждому значению x сопоставляется некоторое значение y. Это похоже на машину ввода-вывода: на вход подается число

x, а на выходе она выдает число y и делает это предсказуемо и надежно.

Галилей осознал мощь такого намеренного упрощения реальности за несколько десятилетий до Ферма и Декарта. Он аккуратно менял в своих экспериментах ровно одну вещь, не трогая все остальные. Он позволял шару катиться по наклонной плоскости и измерял, как далеко он продвинется за определенное время. Красиво и просто: расстояние как функция времени. Точно так же Кеплер изучал, сколько времени требуется планете для оборота вокруг Солнца, он связал этот период со средним расстоянием от светила. Одна переменная сравнивается с другой, период – с расстоянием. Это был путь к прогрессу и способ прочитать великую книгу природы.

В предыдущих главах мы уже встречались с примерами функций, Когда мы говорили о хлебе с корицей и изюмом, x было количеством съеденных ломтиков, а y – количеством потребленных калорий. В этом случае взаимосвязь выражалась уравнением y = 200x

, что дает на координатной плоскости прямую линию. Еще один пример – изменение продолжительности дня в Нью-Йорке в 2018 году в зависимости от времени года. Там переменная x означала день года, а переменная y – количество минут светового дня, то есть время от восхода до захода солнца. Мы установили, что график в этом случае колеблется, словно синусоида: с самыми длинными днями летом и самыми короткими – зимой.

Функция функций

Некоторые функции настолько важны, что на инженерном калькуляторе для них отведены отдельные кнопки. Среди таких математических знаменитостей – x², lgx или 10^x. Следует признать, что большинству людей они не нужны. Отсчитать сдачу или определить размер чаевых вполне можно и без них. В повседневной жизни арифметики обычно вполне достаточно. Вот почему, когда вы включаете на телефоне приложение «Калькулятор», вам по умолчанию показывают базовый вариант с цифрами от 0 до 9, четырьмя арифметическими операциями – сложением, вычитанием, умножением и делением – и кнопкой для процентов. Этого хватает для ведения дел большинству из нас.