Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной

Это говорит о том, что со степенями десятки нужно обращаться с осторожностью. Это мощные средства сжатия, способные уменьшить гигантские числа до размеров, которые нам проще оценить. По той же причине они так популярны среди ученых. В контекстах, где какие-то количества меняются на несколько порядков по величине, степени десятки часто применяют для создания удобной измерительной шкалы. Примеры включают шкалу pH кислотности и шкалу щелочности, шкалу Рихтера для магнитуды землетрясений, измерение громкости с помощью децибел. Скажем, если показатель pH раствора меняется с 7 (нейтральный раствор, как чистая вода) до 2 (кислый раствор, как лимонный сок), то концентрация ионов водорода увеличивается по величине на пять порядков, то есть в 10⁵, или в сто тысяч раз. Снижение показателя pH с 7 до 2 может показаться всего лишь пятью крошечными шажками, как бы совсем небольшим изменением, хотя на самом деле концентрация ионов водорода изменяется в сто тысяч раз.

Логарифмы

В рассмотренных выше примерах числа в правой колонке, например 100 и 1000, всегда были круглыми. Поскольку степени десятки настолько удобны, было бы здорово, если бы мы могли выражать аналогичным образом и некруглые числа. Возьмем, к примеру, 90. Раз 90 немного меньше 100, а 100 = 10², то, видимо, 90 – это 10 в степени, немного меньшей, нежели 2. Но в какой именно?

Для ответа на такие вопросы и были изобретены десятичные логарифмы[185]. Если на калькуляторе вы наберете 90, а затем нажмете кнопку lg, то получите

lg90 = 1,9542…

Это и есть ответ: 10^1,9542… = 90.

Таким образом, логарифмы позволяют нам записать любое число как степень десятки. Это упрощает многие вычисления, а также раскрывает удивительные связи между числами. Посмотрите, что произойдет, если мы умножим 90 на коэффициент 10 или 100, а затем снова найдем его логарифм:

lg900 = 2,9542…

и

lg9000 = 3,9542…

Обратите внимание на две поразительные вещи:

1. У всех таких логарифмов одинаковая дробная часть: 0,9542…

2. Умножение исходного числа 90 на 10 увеличивает его десятичный логарифм на 1. Умножение на 100 увеличивает логарифм на 2 и так далее.

Мы можем объяснить оба факта, обратившись к правилу: логарифм произведения равен сумме логарифмов Из него следует, что

lg90 = lg(9 × 10) = lg9 + lg10 = 0,9542… + 1

и

lg900 = lg(9 × 100) = lg9 + lg100 = 0,9542… + 2

и так далее. Это объясняет, почему у десятичных логарифмов чисел 90, 900 и 9000 будет одинаковая дробная часть: 0,9542… Она соответствует логарифму числа 9, которое входит множителем в эти числа. Различные степени числа 10 дают целую часть этих чисел (в нашем случае 1, 2 и 3). Вследствие этого нам достаточно работать с десятичными логарифмами чисел от 1 до 10. Они отвечают за дробную часть. Логарифмы всех остальных положительных чисел можно будет выразить через них. У степеней десятки собственная работа: они отвечают за целую часть.

Общее правило для логарифмов в символической форме можно записать следующим образом:

lg(a × b) = lga + lgb.

Другими словами, когда мы умножаем два числа и ищем логарифм произведения, результатом будет сумма (а не произведение!) логарифмов отдельных сомножителей. В этом смысле логарифмы заменяют задачу умножения задачей сложения, которая намного проще. Вот почему они, собственно, и были изобретены. Они неизмеримо ускорили вычисления. Вместо того чтобы прикладывать геркулесовые усилия для задач умножения, нахождения квадратных и кубических корней и прочего, математики свели такие вычисления к задачам сложения и эти расчеты стали производиться с помощью готовых таблиц логарифмов. В начале XVII века идея логарифмов уже витала в воздухе, но значительная заслуга в их популяризации принадлежит шотландскому математику Джону Неперу, который в 1614 году опубликовал свое «Описание удивительной таблицы логарифмов». Десять лет спустя Иоганн Кеплер с энтузиазмом использовал новые вычислительные инструменты при составлении астрономических таблиц для положений планет и других небесных тел. Логарифмы были суперкомпьютерами своей эпохи.

Многие люди считают логарифмы сложными, но их смысл можно понять, если провести аналогию с плотницкими работами. Логарифмы и другие функции подобны инструментам. У разных инструментов – разное назначение. Молотки предназначены для забивания гвоздей; дрели – для сверления отверстий; пилы – для разрезания на части. Аналогично показательные функции предназначены для моделирования роста, который подпитывает сам себя, а степенные функции – для моделирования менее агрессивных видов возрастания. Логарифмы полезны по той же причине, что и антистеплер, удаляющий скобки: они отменяют действие другого инструмента. Конкретнее говоря, логарифмы отменяют действие показательных функций, и наоборот.