Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной

Позвольте провести аналогию, позволяющую выявить различия между локальным и глобальным, между дифференцированием и интегрированием и прояснить, почему интегрирование так трудно и так важно с научной точки зрения. Эта аналогия возвращает нас в Пекин к рекордному забегу Усэйна Болта. Вспомните, что для определения его скорости в каждый момент времени мы подбирали гладкую кривую, соответствующую данным о его местоположении на дорожке в зависимости от времени. Затем, чтобы найти его скорость, скажем в момент 7,2 секунды, мы использовали подобранную кривую для оценки его положения через малое время после этого момента, например в 7,25, а затем смотрели на изменение расстояния, деленное на изменение времени, и получали оценку скорости в этот момент. Все это были локальные вычисления. Единственная информация, которая использовалась, – это то, как спринтер двигался в течение нескольких сотых долей секунды в окрестности нужного момента. Все, что он делал в оставшуюся часть гонки – до и после этой окрестности, – не имело никакого значения. Вот что я имею в виду под локальностью.

Напротив, представьте, что бы произошло, если бы нам вручили бесконечно длинную таблицу с указанием скорости Болта в каждый момент времени и попросили вычислить, где он будет через 7,2 секунды после старта. Когда он срывался с колодок, мы могли бы использовать его первоначальную скорость для оценки места, где он оказался, скажем, через сотую долю секунды, умножив стартовую скорость на этот промежуток времени. Зная новое положение бегуна и скорость, мы могли бы снова оценить, где он окажется через следующую сотую долю секунды. И так, шаг за шагом, подключая информацию о скорости, соответствующую очередной сотой доле секунды, мы могли бы и далее в течение всего забега обновлять местоположение спринтера. Это тяжелая работа – с точки зрения расчетов. Именно она и делает глобальные вычисления такими сложными. Нам нужно рассчитать каждый шажок, чтобы получить желаемый ответ для далекого будущего, в нашем случае – для момента времени 7,2 секунды после выстрела стартового пистолета.

А теперь представьте, насколько было бы полезно, если бы мы каким-то образом смогли перемотать события вперед и запрыгнуть прямо к интересующему нас моменту! Именно это обеспечивало решение обратной задачи интегрирования. Это дало бы нам кратчайший путь, червоточину во времени и преобразовало бы глобальную задачу в локальную. Вот почему решение обратной задачи похоже на поиск святого Грааля для анализа.

И впервые эта задача, как и многие другие, была решена студентом.

Одинокий мальчик

Исаак Ньютон родился в каменном фермерском доме на Рождество 1642 года[205]

. Кроме даты, в его рождении не было ничего благоприятного. Он родился недоношенным и таким крохотным, что, как якобы выразилась его мать, мог поместиться в пивную кружку. У него не было отца: старший Исаак Ньютон, фермер-йомен[206], умер тремя месяцами ранее, оставив после себя ячмень, мебель и несколько овец[207]

.

Когда ребенку было три года, его мать Анна снова вышла замуж и оставила мальчика на попечение бабушки по материнской линии Марджери Эйскоу. На этом настаивал новый муж матери, Барнабас Смит (иногда его имя переводят как Варнава Смит); он был богат, вдвое старше нее и хотел иметь молодую жену, но без ребенка[208]. Вполне понятно, что Исаак обижался на отчима и понимал, что мать его бросила. Позже в список своих грехов до девятнадцати лет он включил такую запись: «13. Угрожал отцу и матери Смитам сжечь их вместе с домом». Следующий пункт был еще мрачнее: «14. Желал смерти и надеялся на нее для некоторых». А далее следовало: «15. Бил многих. 16. Возникали нечистые мысли, слова, поступки и мечтания».

Он был беспокойным, одиноким маленьким мальчиком, у которого не было друзей, зато имелась масса свободного времени. Он самостоятельно занимался научными исследованиями, построил на ферме солнечные часы, наблюдая за игрой света и тени на стене. В 1653 году, когда Исааку исполнилось 10 лет, мать снова овдовела и вернулась домой с тремя маленькими детьми – двумя дочерьми и сыном. Она отправила Исаака в школу в Грэнтеме, в восьми милях от дома, – слишком далеко, чтобы ходить туда каждый день пешком. Поэтому мальчик поселился у аптекаря и химика Уильяма Кларка, где познакомился с разными лекарственными препаратами – узнал, как их кипятить, смешивать, растирать пестиком в ступке. Школьный учитель Генри Стокс обучил его латыни, азам теологии, греческому, ивриту, а также некоторым полезным для фермеров расчетам по математике, связанным с геодезией; а кроме того, и более глубоким вещам – например, как Архимед оценил число π. Хотя в школьных документах мальчика характеризовали как бездельника и невнимательного ученика[209], когда Исаак оставался вечером у себя в комнате один, он рисовал на стенах фигуры – окружности и многоугольники, как у Архимеда.