Большая Советская Энциклопедия (ОП)

  С помощью операций сложения, умножения операторов и умножения операторов на числа можно определить многочлены от линейного оператора, а путём предельного перехода, понимаемого соответствующим образом, — и более сложные функции от оператора. Например, если D — оператор дифференцирования, то e^D означает оператор, определяемый формулой

,

  имеющий смысл для тех f (t ), для которых ряд справа сходится. Для аналитических функций сумма этого ряда равна f (t + 1), т. е. e^D — оператор сдвига, переводящий f (t ) в f (t + 1).

  Линейные операторы в гильбертовом пространстве . Наиболее полно О. т. разработана для случая линейных операторов в гильбертовом пространстве . Пусть А — ограниченный линейный оператор в гильбертовом пространстве H . Комплексное число l называется собственным значением оператора

А , если существует такой элемент х ¹ 0 из H , что А (х ) = lх ; при этом х называется собственным вектором оператора А , отвечающим данному собственному значению. Число l называется регулярной точкой оператора А , если оператор (А + lЕ )^–1 существует, определён на всём Н и ограничен; остальные значения l называется точками спектра оператора А . Каждое собственное значение принадлежит спектру, их совокупность образует точечный спектр, остальную часть спектра называется непрерывным спектром. Тот факт, что спектр линейного оператора, вообще говоря, не исчерпывается его собственными значениями, представляет собой характерную черту линейных операторов в бесконечномерном пространстве, отличающую их от линейных преобразований конечномерного евклидова пространства.

  Оператор А

* называется сопряжённым к А , если скалярное произведение (Ax , у ) = (х , А *у ) для всех х и у из Н . Оператор А называется самосопряжённым, если А = А* , и унитарным, если А* =

А^–1 . Самосопряжённые и унитарные операторы представляют собой важнейшие и наиболее полно изученные классы линейных операторов в гильбертовом пространстве. Их теория является обобщением теории самосопряжённых и унитарных линейных преобразований n -мерного евклидова пространства. См. также Спектральный анализ (математический).

  Одним из простейших классов ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве являются вполне непрерывные операторы. Оператор А называется вполне непрерывным, если он переводит всякое ограниченное множество из Н в компактное (см. Компактность ). Спектр вполне непрерывного оператора состоит из конечного или бесконечного счётного числа собственных значений и не имеет отличных от нуля предельных точек. Каждому l ¹ 0 отвечает лишь конечное число линейно независимых собственных функций. Непрерывный спектр отсутствует.

  Самосопряжённый вполне непрерывный оператор А имеет хотя бы одно собственное значение, причём в Н можно выбрать полную ортогональную систему элементов, состоящую из собственных функций оператора А .

  Неограниченные операторы . Понятие ограниченного линейного оператора оказывается во многих случаях слишком узким. Поэтому возникла необходимость рассматривать т. н. неограниченные операторы. Соответствующее, более общее, определение гласит: оператор А называется линейным неограниченным оператором в гильбертовом пространстве Н , если: 1) соответствие у = А (х

) определено для всех х , принадлежащих некоторому линейному многообразию W, называемому областью определения оператора A ; 2) А (aх + by ) = aА (х ) + bA (y ).

  Важнейшим классом неограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве являются дифференциальные операторы. Многие задачи математической физики, в частности теории колебаний, приводят к задаче о разыскании собственных функций и собственных значений различных дифференциальных операторов. Например, цилиндрические функции ,Лежандра многочлены и т.д. представляют собой не что иное, как собственные функции определённых дифференциальных операторов.

  Нелинейные операторы . При изучении операторов предположение об их линейности играет весьма существенную роль. Однако в ряде случаев приходится рассматривать и нелинейные операторы. В частности, важное значение в механике и физике имеют нелинейные интегральные уравнения.

  Лит.: Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 3 изд., М., 1972; Данфорд Н., Шварц Дж. Т., Линейные операторы. Общая теория, пер. с англ., М., 1962.

Операторский транспорт