Большая Советская Энциклопедия (ОП)

  В квантовой механике в основном используются линейные операторы . Это означает, что они обладают следующим свойством: если y₁ = y'₁ и y₂ = y'₂ , то (c₁ y₁ + c

₂ y₂ ) = c₁ y'₁ + c₂ y'₂ , где c₁ и с₂ — комплексные числа. Это свойство отражает суперпозиции принцип

— один из основных принципов квантовой механики.

  Существенные свойства О.  определяются уравнением y_n = l_n y_n , где l_n — число. Решения этого уравнения y_n называется собственными функциями (собственными векторами) оператора . Собственные волновые функции (собственные векторы состояния) описывают в квантовой механике такие состояния, в которых данная физическая величина L имеет определённое значение l_n . Числа l_n называется собственными значениями О. , а их совокупность — спектром О. Спектр может быть непрерывным или дискретным; в первом случае уравнение, определяющее y _n , имеет решение при любом значении l_n (в определённой области), во втором — решения существуют только при определённых дискретных значениях l_n . Спектр О. может быть и смешанным: частично непрерывным, частично дискретным. Например, О. координаты и импульса имеют непрерывный спектр, а О. энергии в зависимости от характера действующих в системе сил — непрерывный, дискретный или смешанный спектр. Дискретные собственные значения О. энергии называются энергетическими уровнями.

  Собственные функции и собственные значения О. физических величин должны удовлетворять определённым требованиям. Т. к. непосредственно измеряемые физич. величины всегда принимают веществ. значения, то соответствующие квантовомеханич. О. должны иметь веществ. собств. значения. Далее, поскольку в результате измерения физич. величины в любом состоянии y должно получаться одно из возможных собств. значений этой величины, необходимо, чтобы произвольная волновая функция (вектор состояния) могла быть представлена в виде линейной комбинации собств. функций (векторов) y_n О. этой физич. величины; др. словами, совокупность собств. функций (векторов) должна представлять полную систему. Этими свойствами обладают собств. функции и собств. значения т.н. самосопряжённых О., или

эрмитовых операторов .

  С О. можно производить алгебраич. действия. В частности, под произведением О. ₁ и ₂ понимается такой О.   =₁₂ , действие которого на вектор (функцию) y даёт y = y’’, если ₂ y = y’ и ₁ y’ = y’’. Произведение О. в общем случае зависит от порядка сомножителей, т. е .₁₂

¹₂₁ . Этим алгебра О. отличается от обычной алгебры чисел. Возможность перестановки порядка сомножителей в произведении двух О. тесно связана с возможностью одновременного измерения физических величин, которым отвечают эти О. Необходимым и достаточным условием одновременной измеримости физических величин является равенство ₁₂ =₂₁ (см. Перестановочные соотношения ).

  Уравнения квантовой механики могут быть формально записаны точно в том же виде, что и уравнения классической механики (гейзенберговское представление в квантовой механике), если заменить физические величины, входящие в уравнения классической механики, соответствующими им О. Всё различие между квантовой и классической механикой сведется тогда к различию алгебр. Поэтому О. в квантовой механике иногда называют q -числами, в отличие от с -чисел, т. е. обыкновенных чисел, с которыми имеет дело классическая механика.

  О. можно не только умножать, но и возводить в степень, образовывать из них ряды и рассматривать функции от О. Произведение эрмитовых О. в общем случае не является эрмитовым. В квантовой механике используются и неэрмитовы О., важным классом которых являются унитарные операторы . Унитарные О. не меняют норм («длин») векторов и «углов» между ними. Неизменность нормы вектора состояния даёт возможность интерпретации его компонент как амплитуд вероятности равным образом в исходной и преобразованной функции. Поэтому действием унитарного О. описывается развитие квантовомеханической системы во времени, а также её смещение как целого в пространстве, поворот, зеркальное отражение и др. Выполняемые унитарными О. преобразования (унитарные преобразования) играют в квантовой механике такую же роль, какую в классической механике играют канонические преобразования (см. Механики уравнения канонические ).

  В квантовой механике применяется также О. комплексного сопряжения, не являющийся линейным. Произведение такого О. на унитарный О. называются антиунитарным О. Антиунитарные О. описывают преобразование обращения времени и некоторые др.