Был ли Бог математиком?

В дальнейшем у Гёделя постоянно случались периоды серьезного душевного расстройства, и в конце концов он отказался принимать пищу. Умер Гёдель 14 января 1978 года от слабости и истощения.

Вопреки распространенному заблуждению, теоремы о неполноте Гёделя не предполагают, что некоторые истины так и останутся навеки непознанными. Кроме того, из этих теорем не следует, что человеческие способности к познанию так или иначе ограниченны. Нет, теоремы всего лишь показывают слабости и недостатки формальных систем. Поэтому, вероятно, для вас будет неожиданностью узнать, что несмотря на широчайшее влияние теорем на философию математики, их воздействие на эффективность математики как механизма построения теорий свелось к минимуму. Более того, именно в десятилетия непосредственно до и после публикации доказательства Гёделя математика добилась самых выдающихся успехов в создании физических теорий Вселенной. Ее вовсе не отмели за ненадежность – напротив, математика и ее логические выводы оказывалась все более необходимой для понимания устройства мироздания.

Однако это означало, что загадка «необъяснимой эффективности» математики стала еще заковыристее. Задумайтесь об этом. Представьте себе, что было бы, если бы логицисты одержали полную победу. Это означало бы, что математика целиком выросла из логики, буквально из законов мышления. Но как такая дедуктивная наука могла бы столь чудесно объяснять природные явления? Какова связь формальной логики (вероятно, стоит даже сказать «человеческой формальной логики») и космоса? После Гильберта и Гёделя ответ на этот вопрос яснее не стал. Осталась лишь неполная формальная «игра», описанная языком математики[143]. Каким образом модели, построенные на такой «ненадежной» системе, порождают глубочайшие открытия, касающиеся Вселенной и ее механизмов? Прежде чем подступиться к этим вопросам, мне придется их немного заострить, изучив несколько частных случаев, показывающих, сколь тонкая это материя – эффективность математики.

Глава 8

Непостижимая эффективность?

В главе 1 я отмечал, что успех математики в создании физических теорий имеет две стороны – одну я назвал «активной», другую «пассивной». Активная сторона отражает то, что ученые формулируют законы природы в сугубо прикладных математических терминах. То есть они используют математические понятия, соотношения и равенства, иногда – разработанные с прицелом на дальнейшее практическое применение, а иногда – придуманные непосредственно ради конкретной задачи. В таких случаях исследователи обычно полагаются на то, что им представляется, что между свойствами математических понятий и наблюдаемыми феноменами или результатами экспериментов есть определенное сходство. В таких случаях эффективность математики не вызывает особого изумления, поскольку вполне можно сказать, что теории нарочно подогнаны под наблюдения. Однако у активной стороны есть одно удивительное качество – это точность, о которой я еще расскажу в этой главе. «Пассивная» эффективность относится к тем случаям, когда разрабатываются совершенно абстрактные математические теории, безо всякого намерения найти им прикладное применение, однако впоследствии эти теории вдруг превращаются в физические модели с мощными прогностическими способностями.

Ярким примером сочетания активной и пассивной эффективности математики служит теория узлов.

Узлы

Об узлах даже слагают легенды. Наверняка вы помните древнегреческую легенду о Гордиевом узле. Оракул предсказал жителям Фригии, что их следующим царем будет первый, кто въедет в столицу на повозке, запряженной быками. Так царем стал Гордий – землепашец, который, ни о чем не подозревая, въехал в город именно в тот день. Преисполнившись благодарности, Гордий посвятил богам свою повозку и привязал ее к шесту сложнейшим узлом, который никому не удавалось развязать. Затем было получено пророчество, что тот, кто развяжет узел, станет властелином всей Азии. Судьба распорядилась так, что развязал узел (дело было в 333 году до н. э.) не кто иной, как Александр Македонский, и он и в самом деле впоследствии захватил всю Азию. Однако его решение мы не назвали бы ни изящным, ни даже честным: рассказывают, что он просто разрубил узел мечом!

Однако, чтобы познакомиться с узлами, нам не нужно углубляться в историю Древней Греции. Ребенок, завязывающий шнурки, девушка, заплетающая косу, бабушка, вяжущая свитер, моряк, швартующий судно, – все они прибегают к помощи тех или иных узлов. Узлам дают всякие неожиданные названия – «рыбацкий штык», «кошачья лапа», «мартышкина цепочка», «канадская восьмерка», «тещин узел» и «эшафотный узел»[144]. А в истории морские узлы сыграли такую важную роль, что в XVII веке в Англии им посвятили огромное множество книг. Одну из них, кстати, написал тот самый английский моряк и искатель приключений Джон Смит (1580–1631), который прославился романтическими отношениями с индейской принцессой Покахонтас.