Быстрая математика: секреты устного счета

15 — это наше контрольное число. Теперь сложим цифры, не помеченные крестиком:

3 + 7 + 5 = 15

15 — наше второе контрольное число.

Если ответ решенного примера верен, тогда контрольные числа должны быть либо равны, либо различаться на 11 или число, кратное 11, такое как 22, 33, 44, 55 и т. д. В приведенном примере оба контрольных числа равны 15, поэтому ответ верный.

Проверим, верно ли мы решили второй пример:

Сложим цифры, помеченные крестиком:

3 + 2 + 2 = 7

Затем сложим цифры, не помеченные крестиком:

2 + 9 + 2 + 5 =

18

Чтобы найти разницу между 7 и 18, вычтем из большего числа меньшее:

18 — 7 = 11

Если разница равна 0, 11, 22, 33, 44, 55 и т. д., значит, наш ответ верен. Здесь разница составляет 11, поэтому мы получили правильный ответ.

Предложите решить подобные задачи детям. Попросите умножить на 11 выбранные ими числа и посмотреть, какую разницу они смогут получить. Чем больше умножаемое число, тем большую разницу можно получить. Кому-нибудь, быть может, даже удастся установить рекорд.

Дети будут умножать стозначные и еще более длинные числа на 11, пытаясь установить рекорд. Мало того, что им удастся заслужить чемпионский титул, они смогут совершенствовать свои навыки сложения и проверки правильности полученного ответа.

Умножение на 9

Наряду со способом быстрого умножения на 11 (поскольку 11 на 1 больше 10) имеется способ быстрого умножения на 9 (поскольку 9 на 1 меньше 10). В данном способе, вместо того чтобы прибавлять к каждой цифре цифру справа, мы вычитаем каждую цифру из цифры справа.

Поскольку вычитание сопряжено с переносом единиц разрядов, можно использовать следующий прием, ускоряющий вычисления. Сначала вычитаем цифру единиц из 10, а затем каждую последующую цифру вычитаем из 9 и прибавляем соседнюю справа цифру. Чтобы получить первую слева цифру ответа (самого старшего разряда), вычитаем 1 из первой цифры числа, умножаемого на 9.

Например:

254 х 9 =

Вычитая 4 из 10, получаем 6. Вычитание 5 из 9 дает 4 и плюс 4 (соседняя справа цифра) — получаем 8 (86). 9 минус 2 равно 7 и плюс 5 дает 12. Записываем 2, 1 переносим (286).

Вычитаем 1 из первой цифры (2) и прибавляем 1, которое перенесли, получаем в ответе 2. Ответ: 2286.

254 х 9 = 2286 ОТВЕТ

Деление на 9

Существует простой способ деления любого числа на 9.

Чтобы разделить 42 на 9, берем цифру десятков в качестве целой части ответа, а в качестве остатка берем сумму цифр. 4 + 2 = 6 (остаток).

4 r6 ОТВЕТ

Рассмотрим другой пример:

34: 9 =

Цифра десятков равняется 3, поэтому записываем 3 в качестве целой части ответа.

3 + 4 = 7

3 r7 ОТВЕТ

А как насчет 71?

Цифра десятков равна…

Остаток равен.

Ответ: 7 с остатком 8.

Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно:

а) 52: 9 = __; б) 33: 9 = __; в) 61: 9 = __; г) 44: 9 = __

Ответы:

а) 5 r7; б) 3 r6; в) 6 r7; г) 4 r8

Легко, не так ли? Но как поступить, спросите вы, если надо разделить 46 на 9? Проблема в том, что 4 и 6 в сумме дают 10. Что делать?

Попробуем разобраться:

46: 9 =

Цифра десятков — 4, поэтому целой частью ответа является 4.

4 плюс 6 дает 10 — остаток согласно нашему методу. Полученный остаток больше 9, поэтому налицо некая ошибка. Нельзя иметь остаток больше делителя. 10 при делении на 9 дает 1 с остатком 1. Цифра десятков равна 1, плюс 1 + 0 = 1 (остаток).

Прибавим полученную целую часть (1) к предыдущей целой части (4) и получим окончательную целую часть 5, а остатком будет 1.

Попробуем решить другой пример:

75: 9 =

Цифра десятков равна 7.

7 плюс 5 дает 12 (остаток). Остаток не должен превышать делитель, поэтому делим полученный промежуточный остаток на делитель.

12: 9 =

Цифра десятков равна 1. Поэтому можно увеличить целую часть искомого ответа на 1.

7 + 1 = 8

1 + 2 = 3 остаток

8 r3 ОТВЕТ

Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно:

а) 85: 9 = __; б) 37: 9 = __; в) 28: 9 = __; г) 57: 9 = __

Ответы:

а) 9 r4; б) 4 r1; в) 3 r1; г) 6 r3

Умножение с помощью множителей числа

Очень часто, когда вам необходимо перемножить два числа, вычисление удается упростить, если имеется возможность удвоить одно число и уменьшить в два раза другое (такой метод получил название «удвой и умножь»). На самом деле в этом случае речь идет об умножении с помощью множителей перемножаемых чисел.

Простой способ умножить 3 на 14 состоит в том, чтобы удвоить 3 и взять половину 14, получая при этом 6 х 7. В чем здесь секрет? Дело в том, что вы разбиваете 14 на 2 и 7, после чего удваиваете 3 (3 х 2) и затем умножаете на 7, то есть на половину от 14.

3 х 14 = 3 х (2 х 7) = 6 х 7 = 42

Чтобы умножить 4 на 22, умножим 4 на 2, получая 8, а затем 8 на 11. (При этом мы удваиваем 4 и берем половину от 22.) На самом деле мы просто использовали множители числа 22 (2 и 11), чтобы упростить вычисления. Когда бы вам ни приходилось перемножать числа, одно из которых значительно меньше другого, пробуйте применять данный принцип для упрощения расчетов.

Скажем, вам надо умножить 14 на 24. Возьмем 10 в качестве опорного числа и выполним вычисление как обычно.