Чего не знает современная наука

В современном мире с понятием хаоса связывается неповторяющаяся, нерегулярная, беспорядочная последовательность состояний. Буквально несколько десятилетий назад считалось, что такие процессы крайне редки, а природа развивается непрерывно, без резких скачков. Действительно, вся классическая физика «механика Ньютона и Галилея, электродинамика Максвелла, статистическая физика – и отчасти современная, например квантовая теория, оперируют с понятиями функции и отображения, геометрическим образом которого является кривая или поверхность. Галилею принадлежит фраза: «Вся наука записана в великой книге – я имею в виду Вселенную, – которая всегда открыта для нас, но которую нельзя понять, не научившись понимать язык, на котором она написана. А написана она на языке математики, и ее буквами являются треугольники, окружности и другие геометрические фигуры, без которых человеку невозможно разобрать ни одного ее слова; без них он подобен блуждающему во тьме». Во времена Галилея под функцией понималось лишь то, что в современной математике называют непрерывной функцией – ее график можно нарисовать, не отрывая пера от бумаги. Такой подход к описанию природы заранее исключал возможность рассмотрения полного беспорядка – хаоса.

Однако с развитием понятия функции усложнялись и геометрические образы, которыми оперировали физики для описания природы. Достаточно сложные математические объекты – такие, например, как функция, имеющая разрыв в каждой точке (функция Дирихле), непрерывная линия, плотно заполняющая весь квадрат, или множество точек плоскости, не имеющее площади, – стали рассматриваться около 100 лет назад. Геометрические образы этих абстрактных математических объектов довольно трудно представить и невозможно нарисовать. Эти примеры могут показаться пустой игрой ума, однако существуют и природные образования, явления и процессы, для описания которых необходимо привлечение математических объектов со столь экзотическими свойствами, получивших название фракталов

. Эти объекты и лежат в основе современной теории хаотических процессов.

Почему хаос казался экзотикой несколько лет назад? Потому что эволюцию систем со времен Лапласа принято описывать, задавая их начальное состояние и скорость его изменения; для этого и была создана прекрасно работающая на практике теория дифференциального исчисления. С математической точки зрения поведение системы в любой момент времени полностью определено, если выполняются условия существования и единственности решения соответствующего дифференциального уравнения. Долгое время считалось, что в такой определенной (детерминированной) системе не может возникать хаоса, ведь решение этого уравнения – «гладкая», то есть непрерывная и дифференцируемая, функция. Лишь на границе XIX и XX веков Анри Пуанкаре обнаружил, что в некоторой гамильтоновой механической системе могут появляться хаотические движения. Эти примеры были восприняты современниками как парадокс.

Однако сейчас стало совершенно ясно, что если речь идет о достаточно сложной нелинейной системе, то ее хаотическое состояние – скорее правило, нежели исключение, оно является неотъемлемым свойством таких реальных систем. К настоящему времени открыто множество динамических систем, в которых возникают состояния нерегулярного, хаотического движения. Прекрасной иллюстрацией служат забавные механические игрушки, появившиеся сейчас в продаже, – маятники на карданных подвесах, причудливые движения которых приковывают к себе взгляд и завораживают, подобно текущей воде или огню. Подчеркнем, что такое поведение не является следствием ни случайного возмущающего воздействия – такие воздействия не включены в модель системы, приходящей к хаосу, – ни бесконечного числа степеней свободы – хаос возникает уже в системах, описываемых тремя координатами, – ни неопределенности (классической или квантовой) в начальных данных. Причина появления хаотических режимов кроется в нелинейной природе динамической системы и ее неустойчивости, проявляющейся в необычайно быстром разбегании первоначально близких траекторий: при достаточно большом удалении состояния системы от начального включаются нелинейные механизмы, возвращающие траекторию в окрестность начальной точки; вследствие неустойчивости ее вновь отбрасывает, и за счет этого происходит беспорядочное запутывание траектории. Заметим, что в линейных моделях, с которыми работала наука XVII–XIX веков и даже начала нашего столетия, хаотических режимов не возникает – они являются свойством исключительно нелинейных систем.