Чего не знает современная наука

Могущество числа в древности не подвергалось сомнению. Ключ к законам всеобщей гармонии Пифагор и его ученики видели в знаменитом Тетраксисе. Он образуется числами 1, 2, 3, 4; составленные из них дроби дают идеально согласованные пропорции. Самый яркий пример этого мы видим в музыке: две одинаково натянутые струны с отношением длин 1:2 звучат приятно для слуха. Столь же гармоничный звук издают струны с отношением длин 2:3 и 3:4. На основе этих законов созвучий была построена пифагорейская гамма, в которой ноты «до», «фа», «соль» и «до» второй октавы звучали на частотах, образующих именно такие пропорции. В современном строе во имя большей технологичности принято другое расположение нот в октаве, однако к пифагорейской гамме постоянно возвращаются композиторы и музыканты в поисках гармонии.

Столь замечательное применение этого принципа в практике не могло оставить равнодушными античных философов, и закон гармоничных отношений распространяется в их учениях и на строение неба, и на человека. Так укрепляется представление о том, что «числа правят миром».

Но время течет, и вот уже успехи математики не кажутся нам столь ошеломляющими. Люди додумались до иррациональных дробей, до мнимых чисел – совсем уж абстрактных. Над древними поверьями только посмеиваются: что знали эти мудрецы, так твердо придерживавшиеся своих целых чисел? Да и загадка музыкальной гармонии, казалось бы, давно раскрыта. Стало ясно, что струна при колебании может иметь профиль синусоиды, и пифагорейские ноты образуются такими профилями колебаний, в которых полупериоды синусоиды укладываются целое число раз, – никакой тут тайны нет.

Но так ли уж правы те, кто так говорит? Анализ уравнения колебаний струны позволяет увидеть удивительное свойство его решений – выбирать из многообразия возможностей лишь те, которые разрешены природой. Связано это с определенным принципом, напоминающим резонанс, с законом, который подавляет все, кроме дозволенного. Оказывается, в уравнении есть спектр решений, не меняющих со временем своей пространственной формы, изменяется лишь их амплитуда. Члены уравнения, отвечающие за пространственную форму решения, лишь умножают их на определенное число (так называемое собственное число оператора Лапласа), комбинация только таких решений и может существовать. И самое удивительное – эти числа как раз и являются пифагорейскими отношениями целых чисел.

Прекрасно сознавая, что предыдущий абзац покажется загадочным для людей, далеких от математики, поясним: это означает, что законы гармонии в виде отношений целых чисел заложены в самой структуре мира, отраженной в уравнениях.

Но уравнения подобного типа описывают не только звучащую струну, им подчиняется и множество других процессов. Законы колебаний мембран и тел правильной формы (прямоугольной, шаровой, цилиндрической), распространения в них тепла, законы излучения света атомами, законы распространения радиоволн и т. п. выводятся из решений задачи на собственные числа для оператора Лапласа, которая и дает в качестве этих чисел пифагорейские дроби.

Самое удивительное, что в ряде случаев эти решения воспринимаются человеком как гармоничные. Пример с музыкой нас в этом убеждает. Может быть, наше чувство красоты связано со структурой мира, ведь мы тоже являемся его частью?

Целые числа и структура Солнечной системы

А теперь обратимся к космосу, точнее – к строению Солнечной системы. Множество ученых, начиная с античности, видели в движении небесных тел высшее воплощение гармонии и пытались найти для ее описания те или иные математические закономерности. Представления об идеальных телах, движущихся по идеальным кривым (окружностям), лежали в основе систем мира Птолемея и Коперника. Кеплер пытался построить геометрическую модель Солнечной системы на основе правильных платоновских многоугольников. Пифагор положил в основу законов строения системы небесных сфер те же отношения целых чисел, которые дают гармонию в музыкальных созвучиях. И Боде пытался найти подтверждение этому в пропорциях между радиусами планетных орбит и даже вывел формулу, в основе которой лежали числа 0, 1, 2 и т. д., – так называемую формулу Боде.

Теперь нам известны размеры и форма орбит главных планет нашей системы, и опять кажется, что представления древних были слишком далеки от истины, – сравнение моделей Кеплера и Боде с реальностью дает слишком большие погрешности.

Но если посмотреть на отношения периодов обращения планет вокруг Солнца, можно уловить интересные закономерности, схожие с законами музыкальной гармонии. Прежде чем сформулировать их, поясним, как можно услышать музыку в периодических движениях планет.