Далекое будущее Вселенной

Ширина полосы В и ширина полосы В' будут связаны тем же фактором (1 + z). Точное расстояние между А и В на момент приема сигнала — d_L = R_Bη. Однако площадь сферы χ = η в то же самое время равна 4πd_T², с

d_T = R_Bsinhη. (91)

Если А передает F фотонов в стерадиан в направлении В, число фотонов, принятых В, будет составлять

F' = (F∑' / d²_T), (92)

где ∑' — эффективное сечение приемника.

Теперь сечение приемника, поглощающего фотон с частотой ω', задано формулой, подобной формуле (63) из предыдущей лекции:

где D_ij — снова дипольный матричный элемент между состояниями i и j. Проинтегрировав все это относительно всех ω', мы получаем в точности левую половину правила суммы (67). Вклад от отрицательного ω' представляет собой наведенное излучение фотонов получателем. Я предполагаю, что получатель не связан с поступающими фотонами, и, следовательно, наведенным излучением можно пренебречь. Таким образом, у нас получается

∫₀^∞ ∑'dω' = Ν' (2π²е²/mc), (94)

где Ν' — число электронов приемника. Если приемник настроен на частоту ω' с ширингой полосы В', (94) дает нам

Σ'Β' ≤ Ν' S₀, (95)

S₀ = (2π²e²/mc) = 0,167 cm² sec^-1. (96)

Чтобы избежать смешивания единиц, я измеряю как ω', так и В' не в герцах, а в радианах в секунду. Полагаю, высокоразвитая цивилизация сможет создать приемник, для которого соотношение (95) выполняется со знаком равенства. Тогда (92) примет следующий вид:

F' = (FN' S₀/d²_TB'). (97)

Я предполагаю, что передатчик содержит N электронов, способных создать направленное излучение с углом распространения, составляющим порядка N^-1/2. Если передатчик представляет собой луч, состоящий из N диполей с оптимальными фазами, число фотонов на стерадиан в луче составляет

F = (3N/8π) (E/hω), (98)

где Е — общий объем переданной энергии. Число полученных фотонов равняется

F' — (3NN¹

ES₀ / 8πhωd²_TB'). (99)

Из (99) мы сразу видим, что для увеличения числа передаваемых фотонов необходимы низкие частоты и узкие полосы. Однако мы заинтересованы в передаче не фотонов, а информации. Чтобы эффективно извлекать информацию из заданного числа фотонов, нам придется использовать ширину полосы, равную скорости детектирования:

B' = (F'/τ_B), B = (F'/τ_A), (100)

где τ_в — продолжительность приема, а τ_А — продолжительность передачи. При этой ширине полосы F' представляет как число фотонов, так и число принятых битов информации. Удобно выражать τ_в и τ_А как долю радиуса вселенной во время передачи и приема информации:

τ_A = (δR_A/c), τ_B = (δR_B/c). (101)

Условие

δ ≤ 1 (102)

устанавливает нижний предел ширины полосы В. Предположим также для простоты, что частота со сделана такой низкой, как только возможно, в соответствии с шириной полосы В, а именно:

ω = В, ω' = В'. (103)

Тогда (99), (100) и (101) дают

F' = {NN'5²E / [(1+z) (sinh²η)E_c]}^1/3, (104)

где, согласно (96),

Е_с = (8πhc² / 3S₀) = (4/3π)137mc² = 3∙10⁵ erg. (105)

Из (104) мы видим, что количество информации, которую можно передать от А к В через заданный объем энергии, со временем, по мере расширения вселенной и отдаления А и В друг от друга, не уменьшается. Увеличение расстояния компенсируется снижением энергетической стоимости каждого фотона и увеличением угла приема при уменьшении длины волны.

Полученный сигнал задается формулой (104). Теперь нам необходимо сравнить его с полученным шумом. Фоновый шум во вселенной на частоте со можно описать эквивалентной температурой шума T_N, так что число фотонов на единицу волны на стерадиан на квадратный сантиметр в секунду описывается формулой Релея–Джинса:

I(ω) = (kT_Nω / 4π³hc²). (106)

Эта формула — просто определение TN, которое в целом представляет собой функцию со и t. Я не предполагаю, что шум обладает планковским спектром на всех частотах. Лишь часть шума принадлежит изначальной фоновой радиации, обладающей планковским спектром при температуре θ_R. Изначальная шумовая температура θ_R изменяется обратно пропорционально радиусу вселенной:

(kθ_RR/hc) = Λ= 10²⁹, (107)

где R задано формулой (8). Я полагаю, что спектр шума в целом по мере расширения вселенной изменяется в том же соотношении с радиусом и таким образом:

(T_N/θ_R) = f(x), х = (hω/kθ_R), (108)

где f есть универсальная функция от х. Если х близко к единице, то в шуме преобладает реликтовое излучение и f(x) имеет планковскую форму

f(x) = f_P(x) = х (е^х — 1)^-1, х ~ 1. (109)