Далекое будущее Вселенной

Однако возможны значительные отклонения от (109) как при большом х (результате красного смещения звездного света), так и при маленьком х (результате нетермальных радиоизлучений). Не углубляясь в детали, скажем просто, что f(x) в целом является уменьшающейся функцией х и быстро стремится к нулю по мере того, как х —> ∞.

Общая энергетическая плотность радиации во вселенной составляет

(4π/c) ∫I(ω) hωdω = (kθ_R)⁴I / (π²h³c³), (110)

где

I = ∫₀^∞f(x)x²dx. (1ll)

Интеграл I должен сходиться как при высоких, так и при низких частотах. Следовательно, мы можем найти такое числовое ограничение b, что

x³f(x)

для всех х. В сущности, (112), вероятно, выполняется при b = 10, если мы будем избегать некоторых определенных частот, например водородной линии 1420 Мгц.

Число шумовых фотонов, полученных в течение времени tB приемником с шириной полосы В' и сечением составляет

F_N = 4π∫'B'τ_BI(ω'). (113)

Подставляя значения из (95), (96), (100), (103) и (108) в (113), получаем:

F_N = (2r₀/λ_B)fN'F', (114)

где

r₀ = (e²/mc²) = 3∙10–1³cm, (115)

а

λ_B = (hc / kθ'_R) = Λ^-1R_B (116)

— длина волны фонового реликтового излучения во время приема сообщения. Если F' — сигнал, то отношение сигнала к шуму равняется

R_SN = (λ_B / 2fN'r₀). (117)

В этой формуле f — отношение шума и температуры, заданное (108), N' — число электронов приемника, а ρ₀, λ_B

заданы (115) и (116). Отметим, что в вычислении (117) мы не даем приемнику возможности выбора угла, поскольку сечение заданное (95), не зависит от направления.

Теперь подведем итоги нашего анализа. У нас имеются передатчик и приемник на мировых линиях А и В, передающие и принимающие сигналы во время t_A = Т₀ (sinhξ — ξ), t_B = Т₀ (sinh(ξ + η) — (ξ + η)). (118)

Согласно (89) и (101),

τ_A = δ(dt_A/dξ), τ_B = δ(dt_B/dξ). (119)

Для удобства будем считать, что передатчик постоянно направлен на приемник и передает сообщения с определенным циклом 8, который может изменяться в зависимости от Когда 5 = 1, передатчик все время включен. Число F' фотонов, принимаемых во время τ_в, может рассматриваться как количество битов в отношении к переменной ξ. В сущности, F'dξ — это число битов, получаемых в интервале dξ. Работать с переменной ξ полезно, поскольку она поддерживает постоянное различие л между А и В.

Из (100), (101), (103), (107) и (108) мы выводим простую формулу количества битов:

F = Λхδ. (120)

Энергия Е, переданная во время τ_А, может также рассматриваться как скорость передачи энергии в единицу интервала Из (104) и (120) мы выводим

Е = (Λ³ / NN') (1 + z) (sinh²η)x³δE_c. (121)

Мы все еще можем свободно выбирать параметры х [определяя частоту со согласно (108)] и 5, оба из которых могут изменяться в зависимости от Единственные ограничения — (102) и сигнально–шумовое условие

R_SN

≥10, (122)

где соотношение сигнала и шума вычисляется согласно (117). Если мы предположим, что (112) верно при b = 10, (122) будет обеспечивать, что

х >(G/r)^1/3, (123)

где

G = (200r₀ / λ_p) N' (1+z)^-1 = 10–9N' (1+z)^-1, (124)

r = (R_A / R_p) = (cosh ξ – 1) / (cosh ξ_p – 1). (125)

Здесь λp, Rp и ξ_p — текущие значения длины волн фоновой радиации, радиуса вселенной и временной координаты ψ Стоит отметить, что сигнально–шумовое условие (123) может быть трудно для соблюдения поначалу, пока r мало, но с течением времени, по мере того как во вселенной становится все тише, его становится все легче выполнять. Чтобы избежать чрезмерной траты энергии на ранних стадиях, вначале мы выбираем маленький цикл 5 и постепенно увеличиваем его, пока он не достигает единицы. Все условия выполняются, если мы выбираем

х = max [(G / r)^1/3, ξ^-1/2], (126)

δ = min [(r / G)ξ^-3/2, 1], (127)

так что

х³δ = ξ^-3/2 (128)

для всех Переход между двумя уровнями в (126) и (127) происходит при

ξ = ξ_T~logG, (129)

поскольку ξ логарифмически возрастает вместе с r согласно (125). При таком выборе х и 8 (120) и (121) дают следующее:

F' = Λmin [(r / G)^2/3ξ^-3/2, (130)

Е = (Λ³ / NN') (1+z) (sinh²η) Е_cξ^-3/2. (131)

Теперь рассмотрим общее число битов, полученных В вплоть до некоей эпохи ξ в отдаленном будущем. Согласно (130), их число равно приблизительно

F_T = ∫^χ F'dξ = 2Λξ^1/2 (132)

и беспредельно возрастает по мере возрастания С другой стороны, общее количество энергии, излученной передатчиком на протяжении всего будущего, конечно:

Е_т = ∑^ξ, Edξ = 2(Λ³ / NN') (еη sinh²η)ξ_p^-1/2E_c. (133)