До конца времен. Сознание, материя и поиски смысла в меняющейся Вселенной

5. Jacob D. Bekenstein, "Black Holes and Entropy", Physical Review D 7 (15 April 1973): 2333. Красивый и доступный обзор расчета Бекенштейна можно найти в книге: Сасскинд Леонард. Битва при черной дыре. Мое сражение со Стивеном Хокингом за мир, безопасный для квантовой механики. — СПб.: Питер, 2013. С. 154–157.

6. Точнее говоря, площадь увеличивается на одну квадратную единицу, если в качестве такой единицы выбирается одна четверть квадрата планковской длины.

7. Самое впечатляющее совпадение между наблюдениями и математическими предсказаниями можно увидеть на примере магнитных свойств электрона, весьма чувствительных к квантовым флуктуациям в пустом пространстве. Математические расчеты здесь иначе чем героическими не назовешь. В конце 1940-х гг. Ричард Фейнман предложил графическую схему для организации таких квантовых вычислений с использованием того, что сегодня мы знаем как фейнмановские диаграммы. Каждая диаграмма отражает один математический вклад, требующий тщательной оценки, а в конце расчета все вклады следует просуммировать. Для определения квантовых вкладов в магнитные свойства электрона (в дипольный момент электрона) исследователям потребовалось оценить более 12 000 фейнмановских диаграмм. Впечатляющее согласие между этими расчетами и экспериментальными наблюдениями относится к ряду величайших триумфов, достигнутых за счет понимания квантовой физики (см.: Tatsumi Aoyama, Masashi Hayakawa, Toichiro Kinoshita, and Makiko Nio, "Tenth-order electron anomalous magnetic moment: Contribution of diagrams without closed lepton loops", Physical Review D 91 [2015]: 033006).

8. Хотя я использую уголек в качестве аналогии, стоит отметить одно существенное различие между излучением, источником которого является привычное нам горение, и излучением черной дыры. Когда светится уголек, излучение возникает непосредственно от горения вещества, из которого он состоит; поэтому излучение несет на себе отпечаток конкретного вещества. Напротив, вся материя черной дыры сжата в ее центральную сингулярность — и чем массивнее черная дыра, тем большее пространство разделяет эту сингулярность и горизонт событий черной дыры, — так что излучение, исходящее от горизонта событий, не будет, судя по всему, нести на себе отпечатка материального состава черной дыры. Эта разница — один из способов понять происхождение того, что мы знаем как информационный парадокс черной дыры. Если излучение, исходящее от черной дыры, нечувствительно к конкретным ингредиентам, из которых эта дыра сформирована, то к моменту, когда черная дыра полностью превратится в излучение, эта информация будет потеряна. Такая потеря информации нарушила бы квантово-механическое развитие Вселенной, поэтому физики не один десяток лет пытались установить, что эта информация не пропадает. Сегодня большинство физиков согласны в том, что у нас имеются сильные аргументы в пользу сохранения этой информации, но множество важных деталей по-прежнему остается на переднем плане исследований.

9. Формула Хокинга показывает, что излучение абсолютно черного тела, испускаемое шварцшильдовской черной дырой (незаряженной и невращающейся черной дырой) массой M, задается формулой TХок. = hc3/16n2GMkb (h — постоянная Планка, c — скорость света, G — гравитационная постоянная, kb — постоянная Больцмана). S. W. Hawking, "Particle Creation by Black Holes," Communications in Mathematical Physics 43 (1975): 199–220.

10. Don N. Page, "Particle emission rates from a black hole: Massless particles from an uncharged, nonrotating hole", Physical Review D 13 no. 2 (1976), 198–206. Приведенные числа уточняют расчет Пейджа с учетом более свежих оценок свойств частиц, особенно ненулевых масс нейтрино.

11. Точнее, шар, радиус которого не превосходит так называемого радиуса Шварцшильда, зависимость которого от массы M выражается формулой КШв. = 2GM/c2.

12. Обратите внимание: я говорю о том, что можно было бы назвать эффективной средней плотностью черной дыры: это ее полная масса, деленная на полный объем, содержащийся внутри сферы, равной по радиусу ее горизонту событий. Такое представление интуитивно полезно, но является, как заметит знающий читатель, в лучшем случае эвристическим. Когда формируется черная дыра, радиальное направление в пределах ее горизонта событий становится времениподобным, так что понятие внутреннего пространственного объема черной дыры становится более тонким делом (к тому же оно становится расходящимся). Более того, масса черной дыры не заполняет равномерно этот объем, так что вычисленную нами среднюю плотность сама черная дыра не реализует. Тем не менее средняя плотность черной дыры, как мы ее определили, позволяет интуитивно представить, почему более крупные черные дыры создают вокруг себя менее экстремальную внешнюю среду и испускают хокинговское излучение с более низкой температурой.