Эйлер. Математический анализ

Дзета-функция — королева всех математических функций, она привлекает наибольшее внимание специалистов, и ей посвящено наибольшее количество сайтов в интернете. Ее название происходит от греческой буквы ξ (дзета), и в первый раз ее использовал Эйлер в решении так называемой Базельской задачи, принесшей ему известность. Эйлер доказал, что бесконечная сумма обратных квадратов равна π²/6:

1 + 1/2² + 1/32 + 1/4² + ... + π²/6,

а затем обобщил этот результат, рассмотрев подробнее следующую функцию:

ξ(x) = 1 + 1/2^x + 1/3^x + 1/4^x + ...

Она может принимать любое значение х из области R вещественных чисел. Эйлер вычислил множество значений дзета-функции, но прямой метод нахождения этих бесконечных сумм неизвестен и по сей день. Сам Эйлер открыл способ приведения бесконечной суммы £ к конечному результату, получив, благодаря легкости обращения с алгебраическими формулами, выражение

ξ(x) = Σ_n=1^∞1/n^s = ∏_k=1∞1/(1 - 1/p_k^s),

где р_k пересекают исключительно область простых чисел. Так обнаружилась неожиданная связь дзета-функций с этими числами. При помощи инструментов анализа дзета-функцию можно перенести в комплексную область, если брать значения s не из области R (то есть вещественных чисел), а из комплексной области С. Впервые дзета-функцию до этой области расширил и изучил великий немецкий математик Бернхард Риман (1826-1866). Сегодня эта функция известна как дзета-функция Римана, и с ней связана так называемая гипотеза, или проблема Римана: невероятное предположение, которое до сих пор не было доказано и считается одной из главных нерешенных задач современной математики. Гипотеза Римана входит в число семи проблем тысячелетия, за решение каждой из которых Институт Клэя в качестве приза выплатит один миллион долларов.

Связь между Эйлером и Ферма была очень тесной. Если мы проследим научные изыскания Эйлера в теории чисел, то увидим, что в основном он пытался решить одну за другой оставленные без ответа задачи Ферма. Это было непросто, поскольку французский ученый редко записывал свои вопросы отдельно, а обычно делал комментарии прямо в книгах, которые читал и анализировал. Он любил бросать вызов своим коллегам, задавая им задачи, которые сам уже решил.

Один из самых интересных вопросов из наследия Ферма — числа, которые были названы его именем, числа Ферма. Они обозначаются буквой F и определяются формулой

F_n = 2²ⁿ +1.

При n = 0,1,2,3,4 получим

_{F0 = 2²}0 _{+ 1 = 2¹} + 1 = 3

_{F1 = 2²}1 _{+1 = 2²} + 1 = 4 + 1 = 5

F2 = 222 + 1 = 24 + 1 = 16 + 1 = 17

_{F3 = 2²}3 _{+ 1 = 2⁵}

+ 1 = 256 + 1 = 257

_{F4 = 2²}4 _{+ 1 = 2¹⁶} + 1 = 65 536 + 1 = 65 637.

Все они являются простыми числами. Следующее число Ферма выглядит так:

_{F5 = 2²}5 _{+ 1 = 2³²} +1 = 4 294 967 296 + 1 = 4 294 967 297.

Было бы логично предположить, что оно, как и предыдущие, является простым. По стандартам того времени более рискованно, хотя и не намного, было выдвинуть гипотезу (как сделал Гольдбах) о том, что все эти числа простые, подтверждая тем самым мнение самого Ферма. Гольдбах сообщил Эйлеру об этой задаче в 1729 году, а в 1732-м тот уже нашел ее решение: F₅ — не простое число, а составное: