Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел

Как в научных, так и в дружеских отношениях между Гауссом и Вебером царила полная гармония; Вебер познакомил математика с новыми областями исследования, часть из которых была экспериментальной. Плодотворное сотрудничество, да и само присутствие коллеги помогли Гауссу пережить этот тяжелый период. Он всегда интересовался физикой, но многие его исследования, исключая сделанные в области астрономии и геодезии, носили сугубо теоретический характер. Прежде чем познакомиться с Вебером, Гаусс занялся вариационным исчислением, которое было одной из центральных тем XVIII века. Оно может быть рассмотрено как математическая задача, но является базовым для многих задач физики. Вариационные задачи — это задачи на оптимизацию, в них речь идет о нахождении лучшего значения, но здесь оптимум — это не значение, а функция.

Мы привыкли рассматривать задачи на оптимизацию, которые математически формулируются как:

Min: f(х)

а:х е S,

где S — множество значений, между которыми мы можем искать решение, что называется допустимым множеством. Функция f также называется целевой функцией. С математической точки зрения не существует никакой разницы, заключается задача в максимизации или минимизации, поскольку можно совершить замену, всего лишь изменив знак целевой функции, так что следующая проблема равносильна предыдущей:

Min: -f(х)

а:х е S,

В зависимости от типа функции f и свойств допустимого множества у нас получится тот или иной тип задачи. Решение этого типа задач может быть как числом, так и вектором (рядом), в случае функции, определенной в пространстве с несколькими измерениями.

ВИЛЬГЕЛЬМ ВЕБЕР

Вильгельм Вебер (1804-1891) — немецкий физик первой половины XIX века. Получил образование в Университете.Галле и остался в нем преподавать до 1831 года, когда перешел в Гёттингенский университет. Там ученый подружился с Гауссом, с которым сотрудничал в исследованиях по электричеству и магнетизму.

В 1833 году они изобрели новый тип телеграфа — зеркальный гальванометр Гаусса — Вебера. Позже физика исключили из Гёттингенского университета за оппозицию к властям.

В 1843 году он начал преподавать в Лейпцигском университете и остался там до 1849 года, затем вернулся в Гёттинген и через некоторое время был назначен директором астрономической обсерватории этого города — на должность, которую до него занимал Гаусс. Вебер работал над установлением абсолютных единиц измерения электрического тока и посвятил последние годы жизни изучению электродинамики, разработав ее основы для последующего создания электромагнитной теории света.

Рассмотрим простой пример. Булочник каждый день печет один вид буханок хлеба. С одной стороны, он хочет удовлетворить своих клиентов и испечь достаточно хлеба, а с другой — он не хочет создать избыток товара, который не найдет покупателя в этот же день. Сделав исследования спроса и предложения, мы можем найти решение, которое принесет булочнику наибольшую прибыль, и вполне можно предположить, что решение будет натуральным числом. Если он печет несколько видов хлеба, например ржаной, кукурузный и пшеничный, решение будет не одним числом, а множеством из трех чисел, которое укажет, сколько буханок каждого типа ему нужно выпечь. Решение будет вектором.

Теперь подумаем о другом примере оптимизации. Мы на улице, и кто-то спрашивает нас, как быстрее попасть на автобусную остановку. Ответ не может быть числом и даже списком чисел. Логичным ответом было бы объяснение дороги: куда надо идти, где повернуть и так далее. Этот тип ответа лучше всего привести к математическому описанию с помощью функции, которая дает тому, кто пользуется ею, критерий к действию в зависимости от места, в котором он находится в каждый момент пути. Задачи на оптимизацию, в которых решение — это функция, известны как вариационные проблемы, и они очень широко применяются в физике.