Эта странная математика

Наша ошибка при оценке вероятности какого-либо события заключается в том, что мы учитываем не все возможности его наступления. Именно она лежит в основе так называемого “парадокса дней рождения” (который, строго говоря, и парадоксом-то не является): если собрать в одной комнате 23 человека, то вероятность того, что у двух из них совпадут дни рождения, превысит 50 %. Казалось бы, она должна быть гораздо ниже. Кто-то даже поспорит: ведь если для такого совпадения достаточно всего 23 человек, то у каждого из нас должно быть как минимум несколько знакомых, родившихся в тот же день, что и мы, – а на деле такое всегда вызывает удивление. Но ведь в парадоксе речь идет не о вероятности того, что кто-то конкретный из этих людей (например, вы) обнаружит в комнате еще кого-то с тем же днем рождения, а о шансах того, что дни рождения совпадут у любых двоих из группы. Другими словами, нас интересует не вероятность того, что у двух конкретных членов группы один и тот же день рождения, а шансы того, что хотя бы два любых человека из группы родились в один день. Вероятность такого совпадения составляет 1 – (365/365 × 364/365 × 363/365 × … × × 343/365) = 0,507, или 50,7 %. В группе из 60 человек эта вероятность превышает 99 %. А вот чтобы получить 50-процентную вероятность того, что у кого-то в группе день рождения совпадает с вашим, нужно уже 253 человека.

Одна из причин, по которой это кажется парадоксальным, заключается в том, что мы смешиваем два разных вопроса. У большинства из нас просто нет 253 достаточно близких знакомых, у которых мы бы знали день рождения, поэтому нам и кажутся маловероятными подобные случайные совпадения. Но это вовсе не значит, что вероятность совпадения дней рождения у двух других людей так же мала.

Контринтуитивными могут казаться не только положения, относящиеся к вероятности, но и понятие случайности. Какая из двух последовательностей орлов (О) и решек (Р) ниже кажется вам более случайной?

О, Р, О, О, Р, О, Р, Р, О, О, Р, Р, О, Р, О, Р, Р, О, О, Р

или

Р, О, Р, О, Р, Р, О, Р, Р, Р, О, Р, Р, Р, Р, О, О, Р, О, Р

Подозреваю, что многие выберут первую, поскольку в ней поровну орлов и решек, расположенных без видимого порядка. Во второй решек явно больше, к тому же бросаются в глаза более длинные серии повторяющихся букв. На самом деле вторую цепочку один из нас (Агниджо) образовал с помощью генератора случайных чисел, а первую специально составил таким образом, чтобы она напоминала результат работы человека, которого попросили написать случайную последовательность букв О и

Р. Человек в таком случае обычно избегает длинных серий повторяющихся букв, обе использует примерно поровну и переключается с О на Р

и обратно чаще, чем когда это происходит случайно.

А как насчет вот такой последовательности?

О, Р, О, О, О, Р, Р, О, О, О, Р, О, О, О, О, Р, О, Р, Р, Р

Она выглядит вполне случайной, даже статистические методы анализа не заподозрят в ней дело рук человека. В действительности же она построена из десятичных знаков числа пи (без начальной тройки): О обозначает нечетные знаки, а Р – четные. Так являются ли знаки числа пи случайными? Формально нет, так как первый десятичный знак всегда 1, второй – всегда 4 и так далее, сколько бы раз вы ни пытались сгенерировать эту последовательность. Если нечто имеет постоянное место и неизменную величину (когда бы нам ни вздумалось на это нечто посмотреть), какая уж тут случайность? И все же математики задаются вопросом, можно ли считать десятичные знаки числа пи случайными статистически, то есть распределенными равномерно: другими словами, с одинаковой ли вероятностью в его записи встречаются все цифры по отдельности и все сочетания цифр (пары, тройки и так далее). Если да, то про пи можно сказать, что оно “нормально по основанию 10”. Именно так думает подавляющее большинство математиков. Считается также, что число пи “абсолютно нормально”, то есть не только его десятичные знаки статистически случайны, но и двоичные знаки (если его записать в двоичной системе, используя только нули и единицы), и троичные (если оно записано нулями, единицами и двойками) и так далее. Доказано, что почти все иррациональные числа абсолютно нормальны, но вот найти доказательство для конкретных случаев оказывается невероятно трудным делом.