Эта странная математика

Всю математику можно грубо разделить на две области – прикладную и чистую[4]. Чистая математика – это наука ради науки. Прикладные математики применяют свои знания для решения практических задач. Но зачастую достижения чистой математики, не имеющие, казалось бы, никакого практического применения, позднее оказываются на удивление полезными для ученых-практиков и инженеров. В 1843 году ирландский математик Уильям Гамильтон сформулировал идею кватернионов – обобщений обычных чисел на четырехмерное пространство. На тот момент они не представляли никакого практического интереса, но спустя больше ста лет нашли широкое применение в робототехнике, компьютерной графике и видеоиграх. Задача о плотной упаковке сфер в трехмерном пространстве, которую впервые попытался решить Иоганн Кеплер в 1611 году, используется для того, чтобы более эффективно передавать информацию по шумным каналам связи. Исследования в теории чисел – самой чистой математической дисциплине, которую считали почти не имеющей практической ценности, – привели к важным открытиям в области разработки криптостойких шифров. А новая геометрия Бернхарда Римана, изучавшая искривленные поверхности, более пятидесяти лет спустя оказалась идеальной основой для создания общей теории относительности Эйнштейна – новой теории тяготения.

В июле 1915 года один из величайших ученых всех времен Альберт Эйнштейн посетил Гёттингенский университет, где произошла его встреча с одним из самых выдающихся математиков той эпохи Давидом Гильбертом. А в декабре следующего года оба ученых почти одновременно опубликовали уравнения, описывающие гравитационное поле в эйнштейновской общей теории относительности. Но если для Эйнштейна сами уравнения были целью его работы, то Гильберт надеялся, что они станут шагом на пути к осуществлению еще более грандиозного замысла. Им двигало страстное желание найти фундаментальные принципы, или аксиомы, лежащие в основе всей математики. Для этого, по мнению Гильберта, нужно было в том числе сформулировать минимальный набор аксиом, из которых можно было бы вывести уравнения не только общей теории относительности Эйнштейна, но и любой другой физической теории. Курт Гёдель своими теоремами о неполноте подорвал веру в то, что математика способна дать ответы на все вопросы. И до сей поры остается неясным, насколько математичен мир, в котором мы живем. Или же это только видимость?

Целые разделы математики, возможно, так никогда и не найдут практического применения, а будут лишь приводить к открытию все новых направлений фундаментальных исследований. С другой стороны, как знать, может быть, законы чистой математики каким-то неожиданным образом действуют в физической вселенной – если и не в нашей, то в каких-нибудь других вселенных, составляющих, по подозрению космологов, мультивселенную непостижимого масштаба. Быть может, все, что истинно и справедливо с точки зрения математики, где-то, когда-то, каким-то образом представлено в той реальности, в которую мы заключены. Ну а пока мы отправимся в увлекательнейшее путешествие по просторам познания, исследуя новые рубежи чисел, пространства и человеческого разума.

В последующих главах мы с вами попытаемся глубже разобраться в некоторых вопросах, с одной стороны, необычных и поразительных, а с другой – имеющих самое непосредственное отношение к окружающему нас миру. Да, кое-что в математике может показаться заумным, надуманным или даже бессмысленным, этакой странной и запутанной игрой воображения. Но в своей основе математика – наука практичная, уходящая корнями в торговлю, сельское хозяйство и архитектуру. И хотя в своем развитии она и претерпела превращения, которые даже в голову не могли прийти нашим предкам, все же по своей сути она остается тесно связанной с повседневной жизнью.

Глава 2. Как увидеть четырехмерное пространство

Одна из самых странных особенностей теории струн в том, что она требует существования большего количества пространственных измерений, чем те три, которые мы непосредственно наблюдаем в окружающем нас мире. Напоминает научную фантастику, и тем не менее это неоспоримый факт, вытекающий из математики теории струн.

Брайан Грин

Мы живем в мире трех измерений – вверх-вниз, вправо-влево и вперед-назад или любые другие три направления, расположенные под прямыми углами друг к другу. Можно легко представить себе что-нибудь одномерное, например прямую линию. То же и с двумерным объектом – скажем, квадрат, нарисованный на листе бумаги. Но как вообще можно научиться видеть помимо знакомых нам измерений еще одно? Где находится дополнительная ось, расположенная перпендикулярно к тем, что мы уже знаем?