Эта странная математика

В одной старой шутке говорится, что тополог – это человек, неспособный отличить кофейную чашку от бублика. Хотя точнее было бы сказать, что это человек, для которого различие между ними несущественно. В топологии чашка и бублик эквивалентны, поскольку (если предположить, что и то и другое сделано из пластичного материала вроде глины) из первого можно постепенной деформацией получить второе: ручка чашки превращается в отверстие бублика, а самой чашке можно придать форму кольца вокруг этого отверстия. Слово “отверстие” здесь имеет четко определенное значение. В топологии отверстие обязано иметь два конца и пронизывать предмет насквозь, как дырка у бублика, или, говоря по-научному, у тора. То, что мы в быту часто называем отверстием, – например, просверленное в стене углубление под шуруп – для тополога таковым не является, потому что оно не имеет двух входов и его можно постепенно деформировать так, чтобы оно полностью сгладилось. Если в двух словах, топология изучает такие свойства объектов, которые остаются неизменными, когда форма объекта меняется, но при этом сам он не разрезается и в нем не проделываются новые отверстия. Топология – современное расширение геометрии, порождающее множество парадоксальных выводов и дающее о себе знать в самых неожиданных местах.

В 2016 году Нобелевская премия по физике была присуждена британским ученым Данкану Холдейну, Майклу Костерлицу и Дэвиду Таулессу за работы в области так называемых экзотических состояний материи. При определенных условиях – например, при очень низких температурах – свойства материалов могут неожиданно и резко меняться. Однажды февральским утром 1980 года немецкий физик Клаус фон Клитцинг, проводя эксперименты с переохлажденными сверхтонкими образцами из кремния, помещенными в мощное магнитное поле, обратил внимание на очень странное явление. Кремний вдруг стал или проводить электричество пакетами определенной величины – сначала один, за ним другой, вдвое больше, потом еще один, втрое больше, и так далее, – или не проводить вообще. Никаких промежуточных значений, как это происходит с обычным электрическим током, не было. Это явление известно как квантовый эффект Холла, а Клитцингу за открытия в этой области в 1985 году была присуждена Нобелевская премия по физике. В процессе эксперимента кремний, очевидно, внезапно перешел в какое-то новое физическое состояние, в котором, как всегда бывает в таких случаях, произошла перегруппировка атомов. Но теоретики тщетно пытались объяснить, как подобная перегруппировка могла произойти в слое кремния настолько тонком, что для перемещения атомов внутри него вверх или вниз просто не было места. Костерлицу и Таулессу пришла в голову оригинальная идея. При охлаждении, предположили ученые, атомы кремния объединялись в завихряющиеся па́ры, которые при достижении критической температуры перехода спонтанно разделялись, образуя два миниатюрных вихря. Таулесс взялся произвести математические расчеты, объясняющие эти вихревые переходы, и обнаружил, что лучше всего явление формулируется в терминах топологии. Электроны в преобразующемся материале образуют так называемую топологическую квантовую жидкость: некое состояние, в котором они передвигаются совместно только на целое число шагов. Работая независимо от Таулесса, Холдейн обнаружил, что эти жидкости могут спонтанно появляться в сверхтонких слоях полупроводников даже в отсутствие сильных магнитных полей.

После объявления в Стокгольме лауреатов Нобелевской премии 2016 года один из членов Нобелевского комитета поднялся со своего места и достал из бумажного пакета булочку с корицей, бублик и (шведский) крендель. Между ними, отметил он, есть множество различий: разный вкус, например, – что-то соленое, что-то сладкое, – да и внешне они не похожи. Но для тополога из всех различий имеет значение только одно – количество отверстий: ноль в булочке, одно в бублике и два в кренделе. Лауреаты премии, объяснил он, нашли способ связать внезапный переход в экзотические физические состояния с изменениями в топологии, то есть фактически с “дырковатостью” соответствующих абстрактных структур. Своим открытием они указали путь к новой, чрезвычайно важной сфере применения дисциплины, породившей некоторые из самых невероятных результатов в математике.