Фейнмановские лекции по гравитации

Амплитуда, описываемая соотношением (16.3.2), оказывается большой только в том случае, когда пропагатор имеет очень маленькую величину, т.е. когда 𝑘 много меньше, чем ^𝑎𝑝, то движение соответствует движению практически свободной частицы. В предельном случае слабых гравитонов этот процесс идентичен процессу торможения излучения, тормозному излучению слабых фотонов; этот процесс тесно связан с классическим пределом, так как он зависит от того, как зарядовые (массовые) токи движутся. Знаменатель есть -2^𝑎𝑝⋅𝑘, и в пределе, когда частоты ω величины 𝑘 являются очень малыми, мы можем положить 𝑘=0 в числителе. Если мы выносим множитель λ/ω, то второй множитель в амплитуде имеет определённый предел, зависящий только от направления гравитона, его поляризации и амплитуды распада

λ

ω

⋅

𝑒^{μν 𝑎}𝑝_ν ^𝑎𝑝_μ

^𝑎𝑝⋅𝑘/ω

⋅

𝐴(

^𝑎

𝑝,

^𝑏

𝑝,

^𝑐

𝑝

).

(16.3.3)

Имеется три похожих диаграммы, соответствующих испусканию гравитона из любой из этих трёх частиц (𝑎,𝑏,𝑐) Диаграмма, соответствующая гравитону, выходящему из чёрного ящика, как может быть легко показано, много меньше по значению; это происходит потому, что почти нет свободной частицы, которая бы двигалась, отсюда следует, что нет ”малого” знаменателя, который бы увеличил этот член. Если мы пренебрегаем этим членом и более высокими порядками, мы находим, что амплитуда испускания некоторого количества гравитонов есть

λ

ω

⋅

𝑎

⋅

𝐴(

^𝑎

𝑝,

^𝑏

𝑝,

^𝑐

𝑝

);

𝐴

=

∑

𝑖

^𝑖

𝑝

_μ

^𝑖

𝑝

_ν

(-)

_𝑖

𝑒^μν

^𝑖𝑝⋅(𝑘/ω)

,

(16.3.4)

где 𝑖 представляет частицу, соединённую с вершиной гравитона, и где (-)_𝑖 есть множитель, равный +1 для входящей частицы и -1 для выходящей частицы. Величина 𝑎 есть кинематический игеометрический множитель. Для того, чтобы вычислить вероятность перехода, мы возводим в квадрат амплитуду, подставляем множитель плотности состояния 𝑘² 𝑑𝑘 𝑑Ω/(2π)³ и множитель нормализации, который есть π/(2𝐸_𝑖) где 𝐸_𝑖 есть энергия каждой частицы. Получаем следующий результат

𝒫

=

𝑎²

𝑑Ω

4π

𝑑ω

ω

λ²

4π²

,

(16.3.5)

задающий вероятность испускания гравитона при одном распаде. Множитель λ² делает эту вероятность предельно малой, настолько малой, что шансы весьма и весьма велики против того, чтобы был зарегистрирован измеряемый отскок в камере Вильсона, в водородной пузырьковой камере или соответствующее событие в искровой камере. Множитель с обратной зависимостью от энергии 1/ω приводит к тому, что эта величина очень велика при экстремально малых значениях энергии гравитона; тем не менее, этот факт почти не относится к делу, так как величина λ²/ω становится близкой к 1 только при значениях энергии настолько низких, что длина волны гравитона должна была бы превосходить радиус вселенной на некоторый множитель, такой как 10³⁹.

Хотя мы разрабатывали теорию, предполагающую наличие скалярных частиц, в низкоэнергетическом пределе ответ оказывается тем же самым вне зависимости от того, какой может быть спин частиц. Это происходит потому, что в низкоэнергетическом пределе к делу относятся только массовые токи и движение масс. В нашем ответе, конечно, имеется инфракрасная расходимость, так что вероятность испускания гравитона (если его энергия не относится к нашему рассмотрению) оказывается бесконечно большой. Это беспокойство является не более серьёзным, чем инфракрасная расходимость для излучения низкоэнергетических фотонов, и эти проблемы могут быть устранены теми же самыми трюками, как и в низкочастотном ”тормозном излучении.”

16.4. Излучение гравитонов при рассеянии частиц

Рис. 16.5.