Фейнмановские лекции по гравитации

Заметим, что 𝑆_μν есть та величина, которую мы называли ^new𝑇_μν в лекции 6 (см. соотношение (6.1.2)). Что мы должны делать дальше? Из-за тщательного построения первоначального действия как инвариантного интеграла может быть показано, что обыкновенная дивергенция тензора источника 𝑆_μν тождественно равна нулю. В импульсном представлении

𝑘

^μ

𝑆

_μν

=

0.

(16.1.5)

Тензор источника содержит в себе и источники материи, и источники гравитации. Из-за свободы, которую мы имеем в выборе калибровки, мы можем сделать тензор с чертой ℎ_μν бездивергентным и, таким образом, получить решение

𝑘

^ν

ℎ

_μν

=

0→

𝑘²

ℎ

_μν

=

λ

𝑆

_μν

,

ℎ

_μν

=

λ

𝑘²+𝑖ε

𝑆

_μν

.

(16.1.6)

Тензор, стоящий справа, есть не просто тензор неизвестного источника: теперь он хорошо определён на языке первоначального действия (16.1.1) и разложения (16.1.2), так что уравнения являются совместными и энергия сохраняется. Раз у нас есть разложение по степеням константы связи λ, мы можем, используя обычные правила теории возмущения, приступить к вычислению всех диаграмм каждого заданного порядка λ. Ключевыми разложениями являются разложение 𝑔^μν и разложение √𝑔. Первое легко может быть выписано по аналогии с разложением (1+𝑥)⁻¹, когда 𝑥 есть малая величина. Мы имеем

𝑔

^μν

=

⎛

⎝

η

_μν

+

2λ

ℎ

_μν

⎞⁻¹

⎠

=

=

η

^μν

-

2λ

ℎ

^μν

+

4λ²

ℎ

^μ

_β

ℎ

^βν

-

3λ³

ℎ

^μβ

ℎ

_βτ

ℎ

^τν

+… ,

(16.1.7)

где необходимо помнить правило суммирования для плоского пространства-времени, как в соотношении (4.1.6). Выражение для разложения √-𝑔 может быть вычислено посредством манипуляций, описанных в лекции 6. Используя соотношение (6.3.11) при

𝑔

_μν

=

η

_μβ

⎛

⎝

δ

^β

_ν

+

2λ

ℎ

^β

_ν

⎞

⎠

,

мы имеем

√

-Det 𝑔

_μν

=

=

√

-Det η

_μν

exp

⎡

⎢

⎣

1

2

Tr log

⎛

⎝

δ

^β

_ν

+

2λ

ℎ

^β

_ν

⎞

⎠

⎤

⎥

⎦

=

exp

⎡

⎢

⎣

½Tr

⎛

⎜

⎝

2λ

ℎ

^β

_ν

-

1

2

(2λ)²

ℎ

^β

_τ

ℎ

^τ

_ν

+

1

3

(2λ)³

ℎ

^β

_τ

ℎ

^τ

_σ

ℎ

^σ

_ν

+…

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

=

exp

⎡

⎢

⎣

1

2

⎛

⎜

⎝

2λ

ℎ

^β

_β

-

1

2

2(λ)²

ℎ

^β

_τ

ℎ

^τ

_β

+

1

3

(2λ)³

ℎ

^β

_τ

ℎ

^τ

_σ

ℎ

^σ

_β

+…

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

=

1

+

λ

ℎ

^β

_β

-

λ²

⎛

⎝

ℎ

^β

_ρ

ℎ

^ρ

_β

+… .

⎞

⎠

(16.1.8)

Подставляя эти выражения для √-𝑔 и для 𝑔^μν в действие, мы получаем явные выражения для связи материи и гравитации; результат для второго члена соотношения (16.1.1) есть, например, следующий:

𝑆

_𝑚

=

1

2

∫

⎡

⎢

⎣

⎛

⎝

η

^μν

-

2λ

ℎ

^μν

+

(2λ)²

ℎ

^μβ

ℎ

_β

^ν

+…

⎞

⎠

(φ

_,μ

φ

_,ν

)

-

𝑚²φ²

⎤

⎥

⎦

×

×

⎛

⎝

1+λ

ℎ

^ρ

_ρ

-

λ²

(ℎ

^σ

_ρ

ℎ

^ρ

_σ

)

+…

⎞

⎠

𝑑⁴𝑥

=

=

1

2

∫

𝑑⁴𝑥

(

φ

^,μ

φ

_,μ

-

𝑚²φ²

)-λ

∫

𝑑⁴𝑥

ℎ

^μν

⎡

⎣

φ

_,μ

φ

_,ν

+

1

2

𝑚²φ²

η

_μν

⎤

⎦

-

-λ²

∫

𝑑⁴𝑥

⎡

⎢

⎣

1

2

ℎ

^λ

_ρ

ℎ

^ρ

_λ

(

φ

^,μ

φ

_,μ

-

𝑚²φ²

)-

2ℎ

^μρ

ℎ

_ρ

^ν

φ

_,μ

φ

_,ν

⎤

⎥

⎦

.

(16.1.9)

Рис. 16.1.

Члены самого наиболее низкого порядка включают в себя взаимодействие двух полей φ и одного ℎ, что соответствует вершине, показанной на рис. 16.1(a). В каждой вершине мы требуем, чтобы импульсы сохранялись. Это правило происходит от объёмного интегрирования в действии: нет вклада от члена, полная фаза которого не равна нулю. Запишем решение типа плоской волны следующим образом :

ℎ

_μν

=

𝑒

_μν

exp(𝑖𝑞⋅𝑥)

,

φ

=

exp(𝑖𝑝⋅𝑥)

;

(16.1.10)

на языке тензора поляризации 𝑒_μν амплитуда в вершине первого порядка

-2λ

⎡

⎢

⎣

𝑒

^μν

¹𝑝

_μ

²𝑝

_ν

-

1

2

𝑒

^ρ

_ρ

¹𝑝

_τ

²𝑝

^τ

-

𝑚²

⎤

⎥

⎦

.

(16.1.11)

Рис. 16.2.

Любая диаграмма, которая включает в себя только такие вершины, теперь могла бы быть вычислена путём простой подстановки в соответствующие амплитуды в каждой вершине и пропагаторы частиц и гравитонов между вершинами в точности так же, как и в электродинамике.

Давайте посмотрим на следующий порядок. Члены, показанные в (16.1.9), включают в себя произведения двух ℎ и φ, так что две прямых и две волнистых линии сходятся вместе в некоторой точке, как показано на рис. 16.1 (б). Имеются также члены, возникающие от разложения первого члена в соотношении (16.1.1), включающего в себя произведения трёх ℎ, соответствующие диаграммам, в которых три волнистых линии сходятся в точке, как показано на рис. 16.1 (в). Обилие неявных сумм по трём индексам приводит к членам, которые очень и очень громоздки, когда они записаны явным образом. Например, один из членов, в котором три волнистых кривых сходятся вместе, есть ℎ_μν,βℎ^μβℎ^να_,α; когда мы переводам это на язык импульсов и компонент поляризации, мы получаем члены, соответствующие всем перестановкам трёх гравитонов, например,

^𝑎

𝑞

_β

^𝑎

𝑒

_μν

^𝑏

𝑒

^μβ

^𝑐

𝑞

_α

^𝑐

𝑒

^μα

+

^𝑏

𝑞

_β

^𝑏

𝑒

_μν

^𝑎

𝑒

^μβ

^𝑐

𝑞

_α

^𝑐

𝑒

^μα

+

+

^𝑏

𝑞

_β

^𝑏

𝑒

_μν

^𝑐

𝑒

^μβ

^𝑎

𝑞

_α

^𝑎

𝑒

^μα

+… .

(16.1.12)

Эта сложность сопровождает одиночную вершину, которая всегда соответствует одной части амплитуды; когда мы соединяем эти выражения, как, например, при вычислении диаграммы, подобной показанной на рис. 16.2 (а), мы можем получить ни много ни мало как 108 членов.

16.2. Завершение теории: простой пример гравитационного излучения